Доклад на конференции




Скачать 98.28 Kb.
НазваниеДоклад на конференции
Дата публикации24.02.2013
Размер98.28 Kb.
ТипДоклад
litcey.ru > Математика > Доклад
О преобразовании Фурье однородных обобщенных функций и об их использовании при построении алгоритмов компьютерной томографии.
Настоящий раздел подготовлен на основании работ:

Трофимов О.Е. О преобразовании Фурье одного класса обобщенных однородных функций. // Сибирский журнал индустриальной математики, 2004, том 7, N 1, стр. 30-34.
O.E. Trofimov Use Fourier Transform in the Distribution Sense for Creation

Numerical Algorithms for Cone-beam Tomography

доклад на конференции

The 14th European Conference on Mathematics for Industry (ECMI 2006) will be held at the UNIVERSITY CARLOS III DE MADRID, on July 10th to 14th.

Сайт конференции http://congrega.fund.uc3m.es/ecmi2006/
Пусть однородная функция степени в N-мерном пространстве. В силу однородности функция и её преобразование Фурье определяются своими значениями на единичной сфере. Преобразование Фурье здесь понимается в смысле обобщенных функций [1]. Приведем выражение для функции через значения функции на единичной сфере.

Теорема. Пусть есть преобразование Фурье в смысле обобщенных функций от однородной функции степени однородности , причем и , тогда

(1)

при .

(2)

Здесь - точка на единичной сфере размерности , а символ означает интегрирование по этой сфере.

Доказательство.

Введем функции и

,

если , то интеграл, определяющий функцию , сходится в классическом смысле.

Переходя к сферическим координатам, получаем:

(3)

Учитывая, что , приходим к выражению
. (4)

Интеграл по в (4) есть преобразование Фурье от функции [1].

В [1] показано, что при , стремящемся к нулю, интеграл по  сходится к преобразованию Фурье от (сходимость и преобразование Фурье от понимаются в смысле обобщенных функций), там же приведены формулы для преобразования Фурье от : (5)

при

и

(6)

при .

Подставляя выражения (5) и (6) в (4) вместо интеграла по , получаем формулы (1) и (2) теоремы.
Случай и соответствует свойствам лучевого преобразования в трехмерном пространстве. Для этого случая теорема доказана в [6] в связи задачами компьютерной томографии. В [6] показано, как использовать формулы вида (1) при построении алгоритмов томографической реконструкции в конусе лучей.

Для полноты изложения приведем здесь ряд положений работы [6].

Пусть заданы функция f(x) = f(x1, x2, x3) , точка S = (s1, s2, s3) и вектор  = (1, 2, 3), лучевым преобразованием функции f(x) будем называть функцию
,

являющуюся интегралом от f(x) вдоль луча, исходящего из точки S в направлении вектора .

Наряду с функцией в некоторых ситуациях рассматривается функция

,

являющаяся интегралом по всей прямой или, что тоже самое, суммой интегралов вдоль лучей из точки z в направлениях  и -.

С математической точки зрения задача томографической реконструкции в конусе лучей заключается в нахождении функции f(x) по функции . Множество точек S, для которых известно лучевое преобразование, обычно является множеством точек, принадлежащих некоторой кривой, являющейся траекторией движения источника излучения.

Пусть задана кривая, по которой движется источник, Ф() = (Ф1(), Ф2(), Ф3()), параметр  пробегает некоторый интервал действительной прямой. Для любого  = (1, 2, 3) и   определим функцию

.

Функция g(,) есть интеграл от функции f(x) вдоль луча, проходящего через точку Ф() в направлении вектора . Отметим, что при любом фиксированном  функция является  однородной функцией  степени -1:

. (7)

В работе [7] получена следующая формула обращения лучевого преобразования:

. (8)

При фиксированном  функция G+(,) есть преобразование Фурье от функции по переменной ,  = (coscos, sincos, sin). В формуле (8) величина , зависящая от x и , выбирается из следующих условий: скалярное произведение (, x) равно , но не равно нулю. Значение функции f(x) может быть восстановлено в точке x, если такое  существует для любого  (условия Кириллова-Туя). Геометрически это означает, что любая плоскость, пересекающая точку x носителя функции, пересекает кривую Ф() так, что знаменатель в (8) не обращается в нуль.

Если носитель лежит в единичном шаре, то примером кривой, удовлетворяющей условиям Кириллова-Туя, является совокупность двух единичных окружностей, имеющих центрами начало координат (0,0,0) и лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, например, Z=0 и Y=0 . Для цилиндрических объектов можно использовать винтовую линию.

Построение численных алгоритмов непосредственно на основании формулы (8), полученной в [7], затруднительно [4]. Дело в том, что в (8) преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций [1], а преобразование Фурье от функции , понимаемое в обычном смысле,



не существует, так как является однородной функцией по и имеет на бесконечности порядок 1/.

Для того, чтобы использовать формулы типа (8) для построения алгоритмов, необходимо показать, что задается с помощью регулярной функции, и иметь для нее выражения через функцию . В работе [7] дается выражение, связывающее при отличном от нуля  с помощью регулярных операций с искомой функций f(x), то есть фактически показано, что функционал задается с помощью регулярной функции. Однако, для построения алгоритмов томографической реконструкции нужно выразить не через искомую функцию f(x), а через исходные данные .

Следуя [6], перейдем к получению соответствующих формул.

Из доказанной выше теоремы получаем следующее

Утверждение. Пусть есть преобразование Фурье в смысле обобщенных функций от однородной функции в трехмерном пространстве, тогда

(9).

В задачах томографии функции f(x) действительны и в формуле (4) нужна только мнимая часть :

, (10)

здесь означает интегрирование по окружности, являющейся пересечением единичной сферы и плоскости, определяемой уравнением .

Используя формулу (9) и - образные последовательности регулярных функций, можно строить численные алгоритмы на основе формулы (8). Однако, наложив дополнительные условия на гладкость функции , можно получить формулу обращения лучевого преобразования, в которой используются только операции дифференцирования регистрируемых функций.

Введем обозначения.

Пусть на единичной сфере заданы функция и произвольная точка .

Через будем обозначать интеграл от по окружности, являющейся пересечением единичной сферы с плоскостью, ортогональной вектору и проходящей через точку .

Через будем обозначать класс функций, заданных на единичной сфере и таких, что для любого , принадлежащего единичной сфере, функция , заданная на отрезке , имеет непрерывные производные порядка . Как обычно, через будем обозначать класс функций, для которых функции бесконечно дифференцируемы.

Через будем обозначать класс однородных функций степени однородности -1 таких, что на единичной сфере они принадлежат классу .

Если функция принадлежит классу , то можно использовать обобщенные функции, сосредоточенные на поверхности [1], и получить следующее

Следствие

.

Здесь S() = {  S2(, ) = 0}, – производная по направлению . Символ означает интегрирование по окружности . Оператор L(, D) означает дифференцирование функции в направлении вектора :

.

Подставляя в (8) зависящее от параметра  выражение для функции через функцию, получаем формулу обращения, пригодную для построения численных алгоритмов,

. (7)

Здесь S() – окружность, являющаяся пересечением единичной сферы и плоскости P(). Плоскость P() проходит через начало координат и ортогональна вектору . Как уже говорилось выше, символ () означает интегрирование по окружности. Оператор L(, D) означает дифференцирование функции в направлении вектора :

,

при этом , зависящее от и x, остается фиксированным. Как и выше,

 = (, ) = (coscos, cossin, sin),  = (, ) = (x, ) такое, что скалярное произведение (x, ) равно и .

В формуле (7) используются регулярные функции, и она пригодна для построения численных алгоритмов.

Формула обращения лучевого преобразования для пространств произвольной размерности получена также в [2].

Выше были использованы обобщенные функции, являющиеся линейными, непрерывными функционалами на пространстве функций, имеющих производные всех порядков. При построении численных алгоритмов, основанных на формулах обращения, содержащих обобщенные функции, более естественно использовать определение обобщенной функции, данное в [5]. Там

в качестве основных рассматриваются функции, имеющие конечное число производных.

Поясним сказанное на примере обобщенной функции , свертка с которой используется во многих формулах обращения, используемых в томографии. Линейный функционал, соответствующий функции 1/x2, или, что то же самое, обобщенная функция 1/x2 определяется формулой [1]

(8).

Для сходимости правой части в формуле (8) нет необходимости, чтобы функция имела производные всех порядков. В реальных ситуациях данные (функция ) бывают известны на дискретной сетке. Для использования формулы (8) естественно построить аппроксимацию такую, что правая часть в (8) определена. Использование аппроксимаций с минимально возможной гладкостью обусловлено двумя причинами:

- простотой построения аппроксимации, чем больше производных, тем более громоздка аппроксимация и выше вычислительные затраты;

- во многих реальных ситуациях необходимо исследовать функции, имеющие разрывы, например, полости в однородных объектах, использование не очень гладких аппроксимаций дает большие возможности для исследования таких объектов.

Более подробно об этом сказано в [3], там же приведены результаты компьютерного моделирования томографической реконструкции в конусе лучей.
Благодарности.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 03-01-00910 и 03-07-90060).


Литература

  1. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Добросвет, Москва, 2000.

  2. Денисюк А.С. Исследование по интегральной геометрии в вещественном пространстве. Дисс. канд. физ.- мат. наук. М. МГУ, 1991 г. мех. - мат. факультет.

3. Lavrentiev M.M., Zerkal S.M., Trofimov O.E. Computer Modelling in Tomography and Ill-Posed Problems, VSP (The Netherlands), 2001, 128 pp.


  1. F. Natterer, The mathematics of computerized tomography. B.G. Teubner, Stutgart, and John Willey & Sons Ltd, 1986.

  2. Соболев С.Л. Задача Коши в пространстве функционалов. Докл. АН СССР, 1935, 3, № 7, С. 291-294.

  3. Трофимов О.Е. О преобразовании Фурье одного класса обобщенных

однородных функций. // Сибирский журнал индустриальной математики,

2004, том 7, N 1, стр. 30-34.

  1. Tuy H. K., An inversion formula for cone-beam reconstruction. SIAM. J. APPL. MATH. 1983, vol.43, № 3, PP.546-552.


Аннотация
Получены соотношения, позволяющие выразить преобразование Фурье однородных функций через их значения на единичной сфере. Предполагается, что , здесь - степень однородности функции, - размерность пространства. Преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций. Показано, что полученные соотношения могут быть использованы при построении алгоритмов томографии в конусе лучей.


Трофимов Олег Евгеньевич

Институт автоматики и электрометрии СО РАН,

630090, Новосибирск,

пр. академика Коптюга 1,

E-mail: Trofimov@iae.nsk.su

Тел. (3832) 343243

Похожие:

Доклад на конференции iconДоклад на 23-й отчетно-выборной конференции
...
Доклад на конференции iconДоклад на конференции в Анкаре
Я хотел бы предложить Вашему вниманию доклад о практике применения российскими судами законодательства, регулирующего перевозки по...
Доклад на конференции iconДоклад прочитан на богословской конференции рпц «Международные Рождественские...
Доклад прочитан на богословской конференции рпц «Международные Рождественские образовательные Чтения» 26 января – 31 января 2003...
Доклад на конференции iconАвгустовской конференции педагогов лысьвенского муниципального района
Доу, представители общественных организаций. Заслушав и обсудив доклад начальника управления образования «Об итогах 2009-2010 учебного...
Доклад на конференции iconДоклад на 19-й российской научной конференции по холодной трансмутации...
Доклад на 19-й российской научной конференции по холодной трансмутации ядер атомов. Берег Черного моря, спортивно – оздоровительный...
Доклад на конференции iconДоклад на 19-й российской научной конференции по холодной трансмутации...
Доклад на 19-й российской научной конференции по холодной трансмутации ядер атомов. Берег Черного моря, спортивно – оздоровительный...
Доклад на конференции iconДоклад на конференции "Православное богословие на пороге третьего...

Доклад на конференции icon-
Доклад на научно-практической конференции ндпр по проблеме «Геноцид Русского народа в XX-XXI веках» 20. 02. 2005
Доклад на конференции iconДоктор физико-математических наук
Доклад на 4 международной конференции «Народная медицина России — Прошлое, Настоящее. Будущее»
Доклад на конференции iconКраткий очерк идей
Доклад, представленный на Всероссийской научно-практической конференции регинформ- 99, 6 апреля 1999 г., Пермь: ппгу

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница