§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками

§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая — концом. Направлен­ный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (черт. 3), обозначается символом АВ (т. е. так же, как отрезок оси; см. § 1). Длина направленного отрезка АВ (при заданном масштабе) обозначается символом | АВ| (или АВ; см. сноску на стр. 13). Проекцией отрезка АВ на ось и называется чи­сло, равное величине отрезка A1В1 оси и, где точка A1 является проекцией на ось и точки А, а В1 — проек­цией Черт. 3. точки В. Проекция отрезка АВ на ось и обозначается сим­волом приАВ. Если на плоскости задана система декар­товых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозна­чается символом X, его проекция на ось Оу — символом Y. Если известны координаты точек M1 (x1, у1) и М2(x2; у2), то проекции X и Y на оси координат направленного отрезка М1М2 могут быть вычислены по формулам X = х2 — x1 Y = y2 — y1 Таким образом, чтобы найти проекции направленного отрезка на оси координат, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала. Угол , на который нужно повернуть положительную полуось ^ Ох так, чтобы её направление совпало с направлением отрезка M1M2, называется полярным углом отрезка M1M2, Угол  понимается, как в тригонометрии. Соответственно этому  имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину вида ± 2п (где п — целое положительное число). Главным значе­нием полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам —  <   . Формулы X = d*cos , Y = d* sin , выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы d = и cos  = , sin  = , которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на оси координат. Если на плоскости даны две точки M1 (х1, у1) и M2 (х2, у2), то расстоя­ние d между ними определяется формулой d = . 44. Вычислить проекцию отрезка на ось и, если даны его длина d и угол  наклона к оси: l) d = 6,  = ; 2) d = 6,  = ; 3) d = 7,  = ; 4) d = 5,  = 0; 5) d = 5,  = ; 6) d = 4,  = — . 45. Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала коорди­нат, зная их проекции на координатные оси: 1) Х = 3, Y = 2; 2) Х = 2, Y = — 5; 3) Х = — 5, Y = 0; 4) Х = — 2, Y = 3; 5) Х = 0, Y = 3; 6) Х = — 5, Y = — 1. 46. Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку M(2; —1), зная их проекции на координатные оси: а) Х = 4, Y = 3; б) Х = 2, Y = 0; в) Х = — 3, Y = 1; г) Х = — 4, Y = — 2; д) Х = 0, Y = —3; е) X = 1, Y == —3. 47. Даны точки M1(1; —2), M1 (2; 1), M2 (5; 0), M3 (—1; 4) и M4(0; —3). Найти проекции на координатные оси следующих отрезков: 1) M1M2, 2) M3M23)M4M5, 4) M5M3. 48. Даны проекции отрезка М1М2 на оси координат Х= 5, Y = — 4; зная, что его начало в точке M1(—2; 3), найти координаты его конца. 49. Даны проекции отрезка АВ на оси координат Х= 4, Y = — 5; зная, что его конец в точке В(1; —3), найти координаты его начала. 50. Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала коор­динат, зная длину d и полярный угол  каждого из них: l) d = 5,  = ; 2) d = 3,  = ; 3) d = 4,  = —; 4) d = 3,  = —. 51. Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М (2; 3), зная длину и полярный угол каждого из них: 1) d = 2,  = —; 2) d = 1,  = ; 3) d = 5,  = — (координаты точки М — декартовы). 52. Вычислить проекции на координатные оси отрезка, зная длину d и полярный угол  каждого из них: l) d = 12,  = ; 2) d = 6,  = —; 3) d = 2, e = —. 53. Даны проекции отрезков на координатные оси: 1) Х = 3, Y = —4; 2) Х =12, Y =5; 3) Х = —8, Y = 6. Вычислить длину каждого из них. 54. Даны проекции отрезков на координатные оси: 1) X = 1, Y = ; 2) X = 3, Y = —3; 3) Х = — 2, Y = 2. Вычислить длину d и полярный угол  каждого из них. 55. Даны точки М1(2; —3), М2(1; —4), М3(—1; —7) и М4(—4; 8). Вычислить длину и полярный угол следующих отрезков: 1) M1M2, 2) M1M3 3) M2M4, 4) M4M3. 56. Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии, что он образует с осью ординат: а) острый угол, б) тупой угол. 57. Длина отрезка MN равна 13; его начало в точке М (3;—2), проекция на ось абсцисс равна — 12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат: а) острый угол, б) тупой угол. 58. Длина отрезка MN равна 17, его конец в точке N (—7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс: а) острый угол, б) тупой угол. 59. Зная проекции отрезка на координатные оси Х = 1, Y = —, найти его проекцию на ось, которая составляет с осью ^ Ох угол  = — . 60. Даны две точки M1(1; —5) и M 2(4; —1). Найти проек­цию отрезка M1M2 на ось, которая составляет с осью Ох угол  = — . 61. Даны две точки Р(—5; 2) и Q(3; 1). Найти проекцию отрезка PQ на ось, которая составляет с осью Ох угол  = arctg . 62. Даны две точки М1(2; —2) и М2(7; —3). Найти проекцию отрезка М1М2 на ось, проходящую через точки А (5; — 4), В(— 7; 1) и направленную: 1) от А к В, 2) от В к А. 63. Даны точки А (0; 0), В(3; —4), С(—3; 4), D(— 2; 2) и E(10; —3). Определить расстояние d между точками: 1) А и В; 2) В и С; 3) А и С; 4) С и D; 5) А и D; 6) D и Е. 64. Даны две смежные вершины квадрата А(3; —7) и В(—1;4). Вычислить его площадь. 65. Даны две противоположные вершины квадрата Р(3; 5) и Q(l; —3). Вычислить его площадь. 66. Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть А(—3; 2) и В(1; 6). 67. Даны три вершины А(3; —7), В(5; —7), С(—2; 5) парал­лелограмма ABCD, четвёртая вершина которого D противоположна В. Определить длину диагоналей этого параллелограмма. 68. Сторона ромба равна 5, две его противоположные вер­шины суть точки Р(4; 9) и Q(—2; 1). Вычислить площадь этого ромба. 69. Сторона ромба равна 5, две его противоположные вер­шины суть точки Р(3; —4) и Q(l; 2). Вычислить длину высоты этого ромба. 70. Доказать, что точки A(3; —5), В(—2; —7) и С(18; 1) лежат на одной прямой. 71. Доказать, что треугольник с вершинами А1(1; 1), А2(2; 3) и А3(5; —1) прямоугольный. 72. Доказать, что точки А(2; 2), В(—1; 6), С(—5; 3) и D(—2; —1) являются вершинами квадрата. 73. Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами M1(1; 1), М2(0; 2) и M 3(2; —1) тупой угол. 74. Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами М(—1; 3), N(1; 2) и Р(0; 4) острые. 75. Вершины треугольника суть точки А (5; 0), В(0; 1) и С(3; 3). Вычислить его внутренние углы. 76. Вершины треугольника суть точки А(— ; 1) В(0; 2) и С(—2; 2). Вычислить его внешний угол при вершине А. 77. На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние которой до точки N (2; —3) равнялось бы 5. 78. На оси ординат найти такую точку М, расстояние которой до точки N(—8; 13) равнялось бы 17. 79. Даны две точки М(2; 2) и N(5; —2); на оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был прямым. 80. Через точку А (4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить её центр С и радиус R. 81. Через точку М1(1; —2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ох. Определить центр С окружности. 82. Определить координаты точки М2, симметричной точке М1(1; 2) относительно прямой, проходящей через точки А(1; 0) и В(-1; -2). 83. Даны две противоположные вершины квадрата А (3; 0) и С(—4; 1). Найти две его другие вершины. 84. Даны две смежные вершины квадрата А(2; — 1) и В(— 1; 3). Определить две его другие вершины. 85. Даны вершины треугольника М1(—3; 6), М 2(9; —10) и М3(—5; 4). Определить центр С и радиус R описанного около этого треугольника круга.

Похожие:

	Автономная некоммерческая организация Задача о вычислении расстояния между двумя точками на плоскости. Задача о делении отрезка в данном отношении. Формулы деления отрезка...		Урока Математика, 5 класс Тема урока: Отрезок. Длина отрезка. Треугольник. (38 попугаев или как измерить длину отрезка)
	Решение задач по темам тема 15. Запись рациональных чисел Вариантов решения два; координаты середины отрезка находим как среднее арифметическое координат концов отрезка, или строим на числовой...		Рассмотрим задачу построения отрезка на растровой плоскости, соединяющего... Существует несколько подходов, зависящих от представления отрезка. Мы можем использовать математическое задание
	Три точки B, c и d лежат на одной прямой. Известно, что bd = 17,... О. Сумма вертикальных углов мое и dco, образованных при пересечении прямых мс и de, равна 204о. Найти угол mod		Контрольная работа по теме «Корни, степени и логарифмы» Треугольник abc прямоугольный и равнобедренный с прямым углом c и гипотенузой 8 см. Отрезок cm перпендикулярен плоскости треугольника...
	«Планиметрия. Треугольник» В треугольнике def проведен отрезок mn = 2 см, параллельный отрезку df, причем n лежит на стороне ef треугольника. En = 4 см, nf...		«Планиметрия. Треугольник» В треугольнике def проведен отрезок mn = 2 см, параллельный отрезку df, причем n лежит на стороне ef треугольника. En = 4 см, nf...
	Изучите методическое пособие по построению диаграмм Ганта в ms excel? Обой отрезки, размещенные на горизонтальной шкале времени. Каждый отрезок соответствует отдельному проекту, задаче или подзадаче....		2. Композиция двух осевых симметрий, оси которых параллельны, есть:... ...