Приведение квадратичных форм к каноническому




НазваниеПриведение квадратичных форм к каноническому
Дата публикации07.08.2013
Размер44.4 Kb.
ТипДокументы
litcey.ru > Астрономия > Документы
Квадратичные формы.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2

Ф(х1, х2) = а11 ,
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х1 и х2.
Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.
Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.
Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2.

Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11, то ее можно рассматривать как функцию от переменных х1 и х2.


Приведение квадратичных форм к каноническому

виду.
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.
При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда:


Тогда .
Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27.
Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - )(3 - ) – 25 = 0

2 - 30 + 56 = 0

1 = 2; 2 = 28;


Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.
Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 - )(8 - ) - 36 = 0

136 - 8 - 17 + 2 – 36 = 0

2 - 25 + 100 = 0

1 = 5, 2 = 20.

Итого: - каноническое уравнение эллипса.
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.



Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при



Решив это уравнение, получим 1 = 2, 2 = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m1 = 1, получим n1 =

полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:



Находим координаты единичных векторов нового базиса.



Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:



Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:





Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.



Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при



Решив это уравнение, получим 1 = 1, 2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m1 = 1, получим n1 =

полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:



Находим координаты единичных векторов нового базиса.



Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:



Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:



Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у2 + 16 = 0
Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: 1 = -1, 2 = 4.
Для 1 = -1 Для 2 = 4


m1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;
= (1; -0,5) = (1; 2)





Получаем: -каноническое уравнение гиперболы.

Похожие:

Приведение квадратичных форм к каноническому iconПрограмма курса А. Ф. Никифорова «Специальные функции математической физики»
Дифференциальное уравнение гипергеометрического типа. Приведение к каноническому виду
Приведение квадратичных форм к каноническому iconПрограмма спецсеминара «Введение в теорию чисел»
Основная теорема арифметики в целостных кольцах, примеры среди квадратичных полей, приложение к диофантовым уравнениям
Приведение квадратичных форм к каноническому iconРешить систему уравнений методом Крамера
Определить вид кривой второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и
Приведение квадратичных форм к каноническому iconРешить систему уравнений методом Крамера
Определить вид кривой второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить кривую
Приведение квадратичных форм к каноническому iconРешить систему уравнений методом Крамера
Определить вид кривой второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить кривую
Приведение квадратичных форм к каноническому iconРешить систему уравнений методом Крамера
Определить вид кривой второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить кривую
Приведение квадратичных форм к каноническому iconСитуаций
ЧС, приведение в готовность необходимых сил и средств и проведению экстренных мероприятий по защите населения
Приведение квадратичных форм к каноническому icon«согласовано» «утверждаю» Смета на сумму: 3 884 900. 39 руб
Приведение в нормативное состояние улицы, по адресу: Республика Коми, г. Сосногорск, ул. Спортивная + проезд до ул. Маяковского
Приведение квадратичных форм к каноническому iconГрафик проведения открытых форм работы семинара
Выступление директора школы Васильевой И. Р. «Осуществление компетентностного подхода педагогами в выборе форм внеурочной деятельности...
Приведение квадратичных форм к каноническому icon§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
Ас — В2  0). Пере­нося начало координат в центр s (х„; ус) этой линии и преобразуя уравне­ние (1) по формулам
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница