Задачи на вычисления (арифметические действия, проценты, прикладные задачи, текстовые задачи) Арифметические задачи (В1)

Скачать 162.18 Kb.

Название	Задачи на вычисления (арифметические действия, проценты, прикладные задачи, текстовые задачи) Арифметические задачи (В1)
Дата публикации	04.04.2013
Размер	162.18 Kb.
Тип	Документы

litcey.ru > Банк > Документы

Задачи на вычисления (арифметические действия, проценты, прикладные задачи, текстовые задачи)

Арифметические задачи (В1)
Задачи на выбор оптимального решения (В4)
Прикладные задачи физического содержания (В12)
Текстовые задачи (В13)

Арифметические задачи (В1)

Задачи с процентами

При наличии в задачах процентов определите:

Что принимается за 100%?
Что надо найти?
Составьте пропорцию и решить.
Решить задачу. Округлить до нужного значения.

Пример 1. Тетрадь стоила 40 руб. Цена повысилась на 15%. Какое число тетрадей можно купить на 500 рублей?

Определим цену тетради после повышения: !00% - это цена до повышения, найти цену после повышения.

1 способ. 2 способ

40 руб. -------------------- 100% 40 руб. -------------------- 100%

х руб.--------------------- 15% х руб.--------------------- 115%

Определим сколько тетрадей можно купить на 500 рублей

Так как количество тетрадей – число натуральное, а в остатке деления - 40, то тетрадей можно купить 10 и останется 40 рублей.

Ответ: 10

Пример 2. 500 детей надо вывезти в оздоровительный лагерь. Сколько нужно заказать автобусов, если в автобусе должны быть 40 детей и 15% взрослых?

Всего в автобус помещается 46 человек. Смотри предыдущую задачу.
Определим сколько нужно автобусов?

Так как в остатке 40, то автобусов нужно 11.

Ответ: 11

Решите самостоятельно.

Железнодорожный билет для взрослого стоит 540 рублей. Детский билет составляет 60% от взрослого. Сколько рублей надо заплатить за групп, состоящую из 20 школьников и 4 взрослых?

Ответ: 8640

Клиент положил в банк 15000 рублей под 7% годовых. Какая сумма на счету будет через год?

Ответ: 16050

Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 12% годовых. Он вносит ежемесячно одинаковую сумму. Какова сумма ежемесячного взноса?

Ответ: 20148

Для задач В1 надо уметь решать задачи с процентами, уметь правильно округлять значения до целых чисел в соответствии с условием задачи.

Задачи на выбор оптимального решения (В4)

В этих задачах предлагаются варианты А, Б, В, из которых надо выбрать наиболее экономный.

Пример 1. Для перевозки 4 т груза на 50 км можно воспользоваться одной из трех компаний, использующих один вид автомобиля. Сколько рублей будет стоить наиболее дешевый вариант перевозки?

Компания-перевозчик	Стоимость перевозки одним авто (руб. на 10 км)	^ Грузоподьемность автомобилей (т)
А	130	2,6
Б	80	1,6
В	170	3,4

Для решения выполним расчет по каждому варианту, определив сколько раз по 10 км укладывается в 50 км (50 :10 = 5) и сколько надо автомобиле по каждому варианту:

А. 4: 2,6 - 2 автом. 130 ·5 · 2 = 1300

Б. 4: 1,6 – 3 автом. 80 · 5 ·3 = 1200

В 4 : 3,4 – 2 автом. 170 · 5 ·2 = 1700

Ответ: 1200

Пример 2. Интернет – провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько стоит самый дешевый ежемесячный платеж, если трафик составляет 550 Мб?

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «0»	нет	0,9 за 1 Мб
План «100»	152руб. за 100Мб	0,6 за 1 Мб сверх 100Мб
План «500»	404 руб. за 500Мб	0,4 за 1 Мб сверх 500Мб

Для решения выполним расчет по каждому варианту, определив на сколько Мб трафик превышает план:

План «0» 550 · 0,9 = 495

План «100» 152 +450 · 0,6 = 422

План «500» 404 +50 · 0,4 = 424

Ответ: 422

Пример 3. Интернет – провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько стоит самый дешевый ежемесячный платеж, если трафик составляет 700 Мб?

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «0»	нет	0,9 за 1 Мб
План «100»	152руб. за 100Мб	0,6 за 1 Мб сверх 100Мб
План «500»	404 руб. за 500Мб	0,4 за 1 Мб сверх 500Мб

Для решения выполним расчет по каждому варианту, определив на сколько Мб трафик превышает план:

План «0» 700 · 0,9 = 630

План «100» 152 +600 · 0,6 = 512

План «500» 404 +200 · 0,4 = 484

Ответ: 484

Прикладные задачи физического содержания (В12)

Для решения задач такого вида надо уметь подставить вместо величин в формуле значения, данные в задаче и найти неизвестное, т. е. решить уравнение.

Пример1. Камнеметательная машина выстреливает камни под определенным углом к горизонту. Траектория полета описывается формулой у = ах² + bx, где а = - 1/22500 1/м, b = 1/15. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от стены высотой 24 м нужно расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Для решения задачи нужно установить что есть что: у – высота, х – расстояние до стены. Теперь подставим в формулу значения всех величин:

^ Далее надо решить неравенство:
- х²+ 1500х – 22500·24 > 0

Сложность решения заключается в нахождении дискриминанта.

х²- 1500х + 22500·24 = 0

D = 1500² - 4· 22500 · 24

Чтобы вычислить D, надо разложить слагаемые на удобные множители:

D = 15²· 100² - 4· 15² · 100 · 24 = 15² · 100 (100 – 96) = 15² · 100 · 4

= 300

х ₁ = 600, х₂= 900

Набольшее – 900. Ответ: 900

4. Решение текстовых задач с составлением уравнений. Табличный способ. (В13)
Оглавление

А С С1 В 10

Стояч. Вода х 11

Составим пропорцию: 30 + х ------------------100% 14

Обезвож. грибы Вода Грибы с водой 15

^ Виды задач.

1. Задачи на движение.

S = V  t; V = S / t; t = S / V, где S – путь, V – скорость, t – время.

2. Задачи на движение по реке.

Vпо течению = Vcобств + Vтечен; Vпротив течен = Vcобств + Vтечен , где Vсобств – скорость в стоячей воде, Vтечен – скорость течения реки.

3. Задачи на работу.

А = П t; П = А / t; t = А / П , где А – объем работы, П – производительность, т. е. объем работы, выполняемый в единицу времени, t – время.

^ 4. Задачи на стоимость.

С = Ц  К; Ц = С / К; К = С / Ц , где С – стоимость, Ц – цена, К – количество.

5. Задачи на урожай.

О = У  S; У = O / S; S = O / У , где О – количество урожая, У – урожайность, т.е. количество урожая с единицы площади, S – площадь.

^ 6. Задачи на грузоподъемность.

О = Г К; Г = О / К; К = О / Г , где О – количество груза, Г – грузоподъемность, т. е. количество груза в единице используемого средства ( автомобили, вагоны и т. д. ), К – количество используемых средств.

^ 7. Задачи на было, изменилось, стало.

8. Другие задачи, включающие зависимость между тремя величинами, например, количество мест, мест в одном ряду, количество рядов и т. д.

^ 9. Задачи на составы, концентрации и т. д. (смеси, растворы, сплавы и т. д. )
Общий алгоритм решения задач.
Пункт 1. Прочесть задачу. Установить вид задачи, установить величины, входящие в задачу, зависимость между ними.

Пункт 2. Записать величины с единицами измерения в вертикальные колонки по ширине тетрадного листа, оставив с слева 2 – 3 см, устаиовив следующий порядок записи величин:

для задач на движение, движение по реке – скорость, время, путь;

для задач на работу – производительность, время, объем работы;

для задач на стоимость – цена, количество, стоимость;

для задач на урожай – урожайность, площадь, количество урожая;

для других задач , включающих зависимость между тремя величинами, рекомендуется в последней колонке записывать величину, получаемую умножением двух других;

для задач на было, изменилось, стало – было, изменилось, стало;

для задач на составы, концентрации – компоненты, общий состав ( смесь, раствор, сплав; и т. д.) .

Пункт 3. Прочитать задачу второй раз, установить «действующие лица» (первый автомобиль, второй автомобиль; план, факт; первый рабочий, второй рабочий, оба вместе и т. д.) и условия их действия (до встречи, после встречи; первое условие задачи, второе условие задачи; и т. д. Записать слева в оставленном месте вертикально построчно условия действия и «действующие лица», создав таким образом горизонтальные строки.

^ В задачах на движение по реке устанавливаются построчно следующее:

По течению

Против течения

Стоячая вода

Течение

Пункт 4. Прочитать задачу третий раз и по мере чтения вносить условия задачи в соответствующую графу. Запись условий вести слева, оставляя место для выражений с неизвестным (х). Если величина одного «действующего лица» больше или меньше другого, то на сколько ( во сколько ) больше или меньше и стрелкой указывается кого ( чего ), например: на 2 бол. или в 3 раза мен. .

Если данная величина суммарная для «действующих лиц», то ставится фигурная скобка и записывается величина, например: 200 км.

^ Все данные задачи со словами раньше, позже, быстрее, медленнее, длиннее, задержка и т. д. перевести по смыслу на больше или меньше.

Если в задачах на работу отсутствуют сведения об объеме работы, то его целесообразно принять за единицу, что позволит решать задачу в частях. Этот подход может быть использован и для других видов задач.

^ Пункт 5. Принять неизвестное за х и записать его в графу соответствующую неизвестной величине.

Пункт 6. В каждой строчке столбца неизвестной величины составить выражения с х по смыслу записанных условий, т. е. «отработать х по вертикали».

Пункт 7. В каждой строчке выполнить действие по смыслу, используя формулу получения определяемой величины, см. «Виды задач», и записать результат в соответствующую графу, т. е. «отработать х по горизонтали». Например: скорость – х, время – 3, то путь равен 3х.

Пункт 8. На основании условия по заполненной в пункте 7 величине составить уравнение.

Пункт 9. Решить уравнение, отобрать корни, соответствующие смыслу задачи.

Пункт 10. Определить при необходимости арифметически другие спрашиваемые в задаче величины.

Краткий алгоритм.

Пункт 1. Определить вид задачи;

Пункт 2. Определить «действующие лица» и условия действия;

Пункт 3. Записать условия задач в соответствующие графы;

Пункт 4. Принять неизвестное за х;

Пункт 5. Отработать х по «вертикали»;

Пункт 6. Отработать каждую горизонтальную строчку;

Пункт 7. Составить уравнение;

Пункт 8. Решить соответствующее уравнение;

Пункт 9. Найти спрашиваемые величины.

Общие правила для решения задач.

^ 1. Единицы измерения привести в соответствие, если время выражено в часах, то минуты необходимо перевести в часы, для чего минуты разделить на 60, сократить.

^ 2. Десятичные дроби, смешанные дроби целесообразно привести в обыкновенную дробь, неправильную дробь, что позволит легко привести уравнение к целому виду.
Примеры решения задач.

Задачи на движение.

В задачах на движение целесообразно составить схему движения.
Задача 1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 100 км, одновременно выехали 2 велосипедиста. Первый едет со скоростью на 30 км/ч быстрее, чем второй и приезжает в пункт В на 3 часа раньше. Найти скорость каждого.

Пункт 1. Задача на движение: входящие величины – скорость, время, путь.

Пункт 2. «Действующие лица» - 1 велосипедист, 2 велосипедист.

Создаем таблицу.
Пункт 3. Читаем задачу еще раз и заносим условия в соответствующие графы.
Пункты 4,5. Пусть скорость первого велосипедиста – х, тогда:
Пункт 6. Рассматриваем первую строку, читаем: скорость – х, путь – 100, найдем время – S/V = 100/x и заносим в таблицу. Тоже выполняем во второй строке.

V,км/ч t, ч S, км

1 вел. х на 30 бол 100 / х на 3 мен. 100

2вел. х – 30 100 / х - 30 100

Пункт 7. Смотрим только на столбец времени.

Так как по условию задачи время в пути первого велосипедиста на три часа меньше, чем второго, составим уравнение:

Если в задаче величина одного «действующего лица» больше или меньше другого, то целесообразно из большего вычесть меньшее (). Для исключения ошибок при установлении большего, проверьте себя дважды.

Пункт 8. Решение уравнения.

О.З.= ( х – 30 ) х

Х – л. д. ч., но х  0, х  30

100х – 100х + 3000 = 3х² – 90х,

3х² – 90х – 3000 = 0,

х² –30х – 1000 = 0, х₁ =50; х ₂ = - 20

х = - 20 не имеет смысла по условию задачи.

Пункт 9. Найдем скорости каждого: 50 км/ч – скорость первого мотоциклиста;

50 – 30 = 20 (км/ч) – скорость второго мотоциклиста.

Ответ. 50 км/ч; 20 км/ч.

Решите самостоятельно

Задача 1. Автомобиль ехал по проселочной дороге и задержался на 6 мин. От предполагаемого времени. Чтобы ликвидировать опоздание, скорость была увеличена на 4 км/ч. Опоздание было ликвидировано на перегоне в 36 км. Найдите первоначальную скорость автомобиля.

^ В данной задаче условия действия будут: без задержки и с задержкой.

Задача 2. Из пункта А в пункт В навстречу друг другу выезжают одновременно и с одинаковыми скоростями два автомобиля и встречаются через 5 ч 30 мин после выезда в пункте С. Если бы скорость одного автомобиля была бы на 10 км/ч больше, то они встретились бы в пункте, отстоящем от пункта С на 25 км . Найдите скорость автомобилей.

Составьте схему движения, учитывая, что при одинаковых скоростях путь будет равный.

А С С1 В

АС = СВ; СС₁= 25 км

Учтите, что «действующие лица» будут 1 автомобиль и 2 автомобиль и два условия действия, а так же при одновременном выезде и встрече время одинаковое.
V, км/ч t, ч S,км

1 условие

1 автом

2 автом

2 условие

1 автом.

2 автом.

Ответ. 50 км / ч.

Задачи на движение по реке.

Пароход прошел 4 км против течения и затем еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость парохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

V, км/ч t, ч S,км

По теч. х + 6,5 33 Против теч. х – 6,5 4
^

Стояч. Вода х

Течение 6,5

Так как время, затраченное на путь по течению и против течения равно одному часу, составим уравнение:

; х – л. д. ч., но х   6,5

33х –33 · 6,5 + 4х +4 · 6,5 = х² – 6,52;

х² – 37х + 6,5 (29 – 6,5) = 0;

D = 1369 – 4· 6,5 ·22,5 = 784

X₁ = 4,5; x₂ = 32,5; x = 4,5 не имеет смысла по условию задачи, т. к. Vпротив теч. =4,5 – 6,5 < 0.

Ответ. 32,5 км/ч.

Задачи на работу.
Общие правила решения задач на работу:

^ 1. При отсутствии объема работы, объем следует принять за единицу.

2. При совместной работе производительности складываются.
Задача. Две бригады, работая совместно закончили посадку деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось каждой бригаде в отдельности, если одна из них может выполнить работу на 15 дней быстрее, чем другая?

^ Т. к. объем работы неизвестен примем его за единицу и будем решать задачу в частях.

«Действующие лица» будут: 1 бригада; 2 бригада; обе бригады вместе.

После заполнения условий таблица выглядит следующим образом:
Производительность Время Работа

1 бриг. 1
2 бриг. На 15 мен. 1
Вместе 4 1

Пусть время первой бригады – х, тогда, отрабатывая х по вертикали, получаем, время второй бригады – х – 15. Отрабатываем каждую горизонтальную строчку и получаем:

Для заполнения первой строки читаем и получаем: работа – 1; время – х; производительность равна работа, деленная на время - . Вторая строка заполняется аналогично. Для третьей строки суммируем производительность, т. к. работа совместная и читаем: производительность - ; время – 4, работа равна 4( )

Производительность Время Работа
1 бриг. х 1
2 бриг. х - 15 На 15 мен. 1
Вместе 4 4( ) 1
Так как объем работы принят за единицу, составим уравнение:

4( ) = 1; х – л. д. ч., но х х 

4х – 60 + 4х = х² – 15х; х² – 23х + 60 =0

х ₁= 3; х₂ = 20; по теореме обратной теореме Виета.

х = 3 не имеет смысла по условию задачи, т. к. время второй бригады

3 – 15 < 0.

20 – 15 = 5 (дн ) - время второй бригады

Ответ. 20 дн; 5 дн.

По такому же принципу решаются задачи на бассейны, используя понятия производительность, время, объем.

^ Решите самостоятельно

Задача. Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 часов. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?
Задачи на составы, концентрации.
В этих видах задач необходимо знать и уметь следующее:

^ 1. Процент – это сотая часть от числа.

2. Нахождение процента от числа и числа по его проценту целесообразно находить, используя свойства пропорции, для чего определить, что принимается за 100% и составить схему решения, при этом следует строго подписывать величины под величинами, а проценты под процентами, например: найти сколько процентов составляет 30 от 120.

120- это 100%, поэтому схема будет выглядеть следующим образом:

120 ------------- 100%

30 ------------- х.

Решаем крест на крест: произведение на линии без х идет в числитель, а линия с х идет в знаменатель.

= 25%.

Найти чему равно 30% от 120. Составим схему: 120 ------------- 100%

х -------------- 30%.

.

Так как процент – сотая часть от числа, то 30% - это 0,3 от 120 и может быть найдена умножением: 120  0,3 = 36.

3. Если р% содержится в х, то этого вещества будет . Например, 5% соли содержится в х г раствора, то этой соли будет 0,05 х г.

4. Концентрация – это количество вещества, содержащееся в единице объема, выраженное в процентах. Например, 20 процентный раствор соли – это значит в 100 г раствора содержится 20% соли, т. е. 20 г, а в х раствора содержится 0,2 х г.

5. В вертикальные колонки записываются сначала компоненты, а затем общий состав ( для растворов компонентами являются вещество и вода ). Например: кислота; вода; раствор; или медь; цинк; сплав.
Задача 1. ^ Морская вода содержит 8% ( по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в ней составило 5% ?

Вертикальные колонки: соль; вода (без соли); морская вода ( вода с солью).

В задачах такого типа целесообразно установить, что остается неизменным. В данной задаче не изменяется количество соли, процентный состав изменяется за счет добавления воды. «Действующие лица» будут: было; изменилось; стало.

Соль Вода Морская вода

Было 30  0,08 8% 30

Изменилось + х

Стало 2,4 5% 30 + х

Составим пропорцию: 30 + х ------------------100%

2,4 -------------------- 5%.

Перемножая крест накрест получим (30 + х) 5 = 2,4  100; х = 18

Ответ. 18кг.

Задачу можно решить без таблицы. Так как в 30 кг морской воды содержится 8% соли, то ее будет 30 0,08 = 2,4 кг.

2,4 – это 5%, найдем сколько будет составлять 100%.

2,4 ----------------- 5%

х ------------------ 100%. ; х = 48

48 – 30 = 18 (кг).
Задача 2. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить из них 4,5 кг сухих грибов?
^ Неизменным будут обезвоженные грибы. Вертикальные колонки будут: обезвож. грибы; вода; грибы с водой. «Действующие лица» – грибы свеж.; грибы сухие.

% лучше писать в колонке справа, а вес чуть слева

^ Таблица с внесенными условиями выглядит следующим образом:

Обезвож. грибы Вода Грибы с водой

Свеж. Грибы 90%

Сухие грибы 20% 4,5кг

Решение: определить неизменную часть в единицах и процентах. Так как в задаче в 4,5 кг сухих грибов содержится 80% обезвоженных, то обезвоженных будет: 4,5 0,8 = 3,6кг
^

Обезвож. грибы Вода Грибы с водой

Свеж. Грибы 3,6кг 10% 90% х

Сухие грибы 4,5 0,8=3,6кг 80% 20% 4,5кг

Решаем по первой строке: 3,6 --------------- 10%

х ---------------- 100%

х =

Ответ. 36кг.

Решите самостоятельно

Задача 3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием в 30%?

Вертикальные столбцы будут – никель; сталь. «действующие лица» – один сорт; другой сорт; новый сорт.

Приняв за х количество тонн стали одного сорта и за у количество тонн другого сорта, учитывая, что 5% - это 0,05 от числа, а 40% - это 0,4 от числа, будем иметь следующую таблицу ( заполни и реши):

Никель Сталь

Один сорт 5% х

Другой сорт 40% у

Новый сорт 30% х + у 140т

Ответ. !00т и 40т.

	Решение задач «Математика абитуриенту. Версия 0» Содержит задачи для Содержит задачи для подготовки к письменному экзамену по темам: «Тригонометрия», «Простейшие уравнения и неравенства», «Алгебраические...		Программа вступительных испытаний по математике Арифметические вычисления. Преобразование рациональных выражений. Действия над радикалами. Действие над абсолютными величинами. Действие...
	Содержание и методика преподавания школьного курса математики Замечание. Задачи необходимо решать минимальными средствами, то есть используя теоретический материал (в том числе задачи, решенные...		Решение. Обозначим через Х= Х Задача Составить математическую модель задачи и решить её двумя способами: симплекс-методом и графически. Для полученной задачи составить...
	Задание Численное решение задачи Дирихле. Метод sor. Разработка параллельной... Дана параллельная программа, реализующая метод Якоби решения 2-мерной задачи Дирихле (файл jacoby c)		Вопросы к экзамену по курсу лекций “Обратные задачи” IV курс, 7-ой... Задача для уравнения теплопроводности с обратным временем; единственность решения
	Задачи по теме "Позиционные системы счисления. Арифметические операции" Задания к работе Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления		Расчет финансового левериджа Сравнительный анализ результата выполнения задачи на компьютере и тестовой задачи
	Е. Г. Григорьева Методика проведения Так, например, комплекс ору для подготовительной части урока в первую очередь должен решать задачи общеукрепляющего воздействия,...		Цели и задачи управления персоналом Основные задачи уп: Успешное выполнение поставленных целей требует решения таких задач, как

Задачи на вычисления (арифметические действия, проценты, прикладные задачи, текстовые задачи) Арифметические задачи (В1)

А С С1 В

Стояч. Вода х

Составим пропорцию: 30 + х ------------------100%

Обезвож. грибы Вода Грибы с водой

Похожие: