Общие свойства пределов




Скачать 125.05 Kb.
НазваниеОбщие свойства пределов
страница1/3
Дата публикации24.03.2014
Размер125.05 Kb.
ТипДокументы
litcey.ru > Философия > Документы
  1   2   3

Общие свойства пределов


В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

        Теорема 2.8   Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе  :



Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен сумме пределов слагаемых:



        Доказательство.     Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина  -- бесконечно малая; равенство  -- что  -- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма



CLX.ru - реклама в интернет

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность бесконечно мала, означает, что ; это и требовалось доказать.     

        Замечание 2.2   В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть и . Тогда и предел , в то время как пределы при функций и не существуют.

Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.     

        Теорема 2.9   Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе  :



Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей:



        Доказательство.     Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина  -- бесконечно малая; равенство  -- что  -- бесконечно малая. Поэтому и , откуда



или



Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина  -- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина  -- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией и постоянной бесконечно мала при базе , то по теореме 2.4 ; это и требовалось доказать.     

        Замечание 2.3   Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2.2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция при имеет предел, равный 0, однако предела при не существует (хотя другой множитель, , имеет предел при этой базе).

Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.     

        Следствие 2.4   Пусть и (то есть  -- постоянная величина). Тогда существует предел функции , равный :



        Доказательство.     Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, , и применить теорему 2.9.     

Доказанное следствие означает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.

        Следствие 2.5   Пусть функции имеют при базе пределы, равные соответственно , и  -- постоянные. Тогда



        Доказательство.     Оно состоит в последовательном -кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым , предел которых, согласно предыдущему следствию, равен .     

В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность можно представить в виде и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что



то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.

        Замечание 2.4   Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество всех функций, заданных на фиксированном окончании базы и имеющих предел при базе  -- это линейное пространство, а во-вторых -- что операция взятия предела  -- это линейное отображение линейного пространства в линейное пространство вещественных чисел . Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.    

Предел отношения двух функций , в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя и знаменателя , даже если пределы и существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:

        Пример 2.15   Пусть , и взята база . Тогда, очевидно, , и отношение пределов не имеет смысла. При этом при и предел отношения существует: .     

Оказывается, условия , которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл, -- этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.

        Лемма 2.1   Пусть при некоторой базе существует предел . Тогда функция определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.

        Доказательство.     Возьмём положительное число . По определению предела, в базе найдётся такое окончание , что при всех будет . Это неравенство можно привести к виду



(2.2)

При это неравенство означает, что ; так как , то и при всех и, следовательно, функция определена во всех точках окончания и удовлетворяет неравенству



CLX.ru - реклама в интернет

При неравенство (2.2) означает, что ; так как , то и при всех и, опять-таки, функция определена во всех точках окончания ; она удовлетворяет неравенству



В любом случае получаем, что функция определена во всех точках и при этих удовлетворяет неравенству , что означает локальную ограниченность функции при базе .     

На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.

        Теорема 2.10   Пусть при одной и той же базе существуют пределы и , причём . Тогда функция определена на некотором окончании базы , существует предел , и , то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.

        Доказательство.     Представим отношение в виде , в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании базы (относительно второго множителя см. предыдущую лемму). Поэтому и исходное отношение имеет смысл при всех .

Утверждение о том, что , эквивалентно тому, что разность  -- бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим, что . Величина  -- постоянная и, следовательно (см.  пример 2.11), локально ограничена; функция  -- тоже локально ограничена при базе (по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения 2.1 и теоремы 2.7, будет доказано, что величина бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе величина . Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие 2.5)



Это означает, что величина бесконечно мала.     

        Замечание 2.5   Как и в случае пределов суммы и произведения, можно сделать замечание (аналогичное замечаниям 2.2 и 2.3): если существует предел отношения, то пределы числителя и знаменателя, вообще говоря, существовать не обязаны. Приведите сами пример, иллюстрирующий это утверждение.     

        Пример 2.16   Найдём предел



Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , то есть на , и получим предел



В этом пределе знаменатель стремится к 3, так как и (здесь мы применили теорему о пределе произведения для последнего слагаемого) и, следовательно, (здесь мы воспользовались линейностью предела). Поскольку предел знаменателя оказался не равен 0, то можно применить теорему о пределе отношения и получить, что



   

Предел числителя, равный 2, мы нашли аналогично пределу знаменателя, пользуясь линейностью предела.

Итак,



    

Заметим, что предел отношения многочленов оказался равен отношению коэффициентов при старшей степени , то есть, в данном случае, при .

Аналогично решаются и другие примеры на вычисление пределов отношения двух многочленов при , а также пределов отношения некоторых других функций, например, связанных с корнями из многочленов.

        Пример 2.17   Найдём предел



Для этого поделим числитель и знаменатель дроби на (под знаком корня в знаменателе для этого придётся поделить на ):



Поскольку , то подкоренное выражение стремится к 4, а весь знаменатель -- к .6 Предел знаменателя оказался отличен от 0, поэтому предел отношения равен отношению пределов. Найдём предел числителя. Поскольку при всех (так как показатель степени отрицателен), то величина локально ограничена при базе и поскольку величина  -- бесконечно малая при этой базе, то произведение также бесконечно мало, то есть стремится к 0 при . Значит, предел числителя равен



а исходный предел --



    

        Упражнение 2.5   Найдите пределы:






  1   2   3

Похожие:

Общие свойства пределов iconПрограмма на экзамен (1 семестр) тема основные понятия математического анализа
Числовая последовательность. Определение предела последовательности. Определение предела функции. Односторонние пределы. Свойства...
Общие свойства пределов iconИспользование непрерывности функций при вычислении пределов
Выше, в примерах 17 и 23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью...
Общие свойства пределов icon1 Экспертные оценки рисков: процедура обобщения оценок и ее общие...
Определение понятия риска, общие свойства рисков, классификация рисков по видам, чистые и коммерческие риски
Общие свойства пределов iconТак как измеряются свойства, общие в качественном отношении многим...
Стрелка магнитного компаса, например, индикатор напряженности магнитного поля; осветительная электрическая лампочка индикатор электрического...
Общие свойства пределов iconБесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к в следующих разделах на этой основе мы...
Общие свойства пределов iconУчаствовать в беседе, отвечать на вопросы, дополнять высказывания товарищей
Называть и характеризовать предметы и явления, сравнивать и классифицировать, устанавливать общие и отличительные свойства
Общие свойства пределов iconВопросы: 3
Информатика- это фундаментальная, естественная наука, изучающая общие свойства информации, процессы, методы и средства ее обработки...
Общие свойства пределов icon27. Политическое лидерство и его типологии
Каждый лидер своеобразен как феномен политики, но при всем их разнообразии у всех у них можно обнаружить важные общие свойства
Общие свойства пределов iconА. И. Демков воздействие нефтепродуктов на водные экосистемы, их свойства
В статье приведены общие сведения по нефтепродуктам, их токсикологическим свойствам. Приводится вывод размерностей между млн-1 и...
Общие свойства пределов iconПамятки. Памятка №2. Как сравнивать
...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница