Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред»




Скачать 222.72 Kb.
НазваниеПрограмма курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред»
Дата публикации14.03.2013
Размер222.72 Kb.
ТипПрограмма курса
litcey.ru > Физика > Программа курса
Приложение № 2.
Программа курса

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ФИЗИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД
Программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» составлена в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного магистра по циклу «общефизических дисциплин» по специальности/направлению «_______________________________», а также задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по реализации Программы развития НГУ.
Автор: Беклемишев Алексей Дмитриевич, к.ф.-м.н., доцент
Факультет: физический

Кафедра: теоретической физики
1. Цели освоения дисциплины (курса)

Дисциплина (курс) «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» имеет своей целью: ознакомить студентов с фундаментальными процессами нелинейной физики сплошных сред, включая разделы электродинамики сплошных сред, гидродинамики и теории упругости. Параллельно предполагается ознакомление с понятиями, моделями и теоретическими методами, применяемыми для описания различных нелинейных явлений в физике сплошных сред, и методами решения нестандартных задач, возникающих в процессе подготовки физических экспериментов и конструирования физических установок. Курс должен служить логическим завершением изучения физики сплошных сред для студентов всех выпускающих кафедр, показывать междисциплинарные связи на основе общности подходов и методов в описании явлений различных разделов ФСС.
^ 2. Место дисциплины в структуре образовательной программы

Физика сплошных сред, включающая в себя электродинамику сплошных сред с дисперсией, гидродинамику и теорию упругости – необходимый элемент образования физика. Начальные сведения, включая основные уравнения и теорию линейных волн, студенты НГУ проходят в рамках программы подготовки бакалавров. Более сложные и современные разделы курса ФСС вынесены в магистратуру, в данный курс “Нелинейные процессы в физике сплошных сред”. Курс даёт представление о широком спектре разнообразных явлений из разных разделов физики, подчёркивая их внутреннюю схожесть на уровне математических моделей. Курс структурирован по принципу схожести математических моделей. Сперва изучаются слабонелинейные процессы, в т.ч., в нелинейной оптике и в гидродинамике, затем когерентные сильно-нелинейные волны в гидродинамике, вихревое движение жидкости и подъёмная сила, дефекты и эффекты памяти в упругих средах, теория развитой турбулентности, автоколебания. Этот курс имеет в основном общеобразовательную направленность, рассказывает о физическом содержании широкого круга явлений природы, физических моделях и методах на переднем крае физики.

Курс относится к циклу общефизических дисциплин. В результате прохождения курса студенты физического отделения физического факультета должны овладеть понятиями и методами нелинейной физики сплошных сред. Курс является прямым продолжением курса «Физика сплошных сред» читающегося в пятом семестре, и содержит сложные для освоения темы, ранее изъятые из курса ФСС для бакалавров. Освоение этих тем, таких как, например, ударные волны в газе, считается необходимым элементом физического образования.

Курс НПФСС в магистратуре предназначен не только для студентов, скажем, квантовых специальностей, вообще не имеющих спецкурсов по физике сплошных сред, но и для студентов профильных специализаций. К девятому семестру, когда предполагается чтение данного курса, студенты профильных кафедр уже прошли соответствующие разделы в рамках кафедральных спецкурсов, так что может показаться, что этот курс им не нужен. Но это не так. Дело в том, что в рамках НПФСС рассматриваются явления не одного, а нескольких разделов физики, поэтому он гораздо шире любой кафедральной программы. Курс демонстрирует схожесть физических моделей и математических методов для описания очень разных явлений, способствует формированию междисциплинарного мировоззрения.

Необходимой предпосылкой для успешного освоения курса являются знания и умения в объёме программы бакалавриата физического факультета НГУ. В цикле математических дисциплин требуется знание линейной векторной и тензорной алгебры, математического анализа, функционального анализа, теории функций комплексной переменной, методов математической физики в объёме программы бакалавриата НГУ, и умение применять эти знания при решении задач. Некоторые дополнительные математические сведения даются непосредственно в лекциях курса НПФСС. Необходимость владения указанными математическими компетенциями обусловлена тем обстоятельством, что они составляют основу математических моделей, применяемых в курсе НПФСС – систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих векторные и тензорные поля. В цикле физических дисциплин необходимыми для успешного усвоения НПФСС являются следующие курсы: первая часть курса «Физики сплошных сред» кафедры теоретической физики, курсы «Термодинамика» и «Электродинамика» кафедры общей физики, курсы «Аналитическая механика» и «Физическая кинетика» кафедры теоретической физики. Особенно существенным является знание ФСС в объёме программы для третьего курса, поскольку базовые уравнения (электродинамики сплошных сред, идеальной и диссипативной гидродинамики, теории упругости) считаются известными. Более того, законы распространения линейных волн (звука, света, поверхностных волн) в этих средах считаются также известными, и предполагается, что студенты умеют решать соответствующие задачи. Поскольку не реалистично рассчитывать, что знания, полученные студентами на третьем курсе, доживут до пятого в полном объёме, при чтении НПФСС предполагается повторение необходимых базовых понятий и алгоритмов (конечно, без выводов, и в конспективном стиле).

^ 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

«Нелинейные процессы в физике сплошных сред»

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

  • Знать: основные математические модели, уравнения, которые применяются в нелинейной физике сплошных сред, физические явления, которые описываются в рамках слабо-нелинейной волновой динамики в оптике и теории плазмы, в теории когерентных нелинейных волн и вихрей в гидродинамике, развитой турбулентности, эффектов памяти и автоколебаний. Знать основные методы, необходимые для работы с этими типами моделей и явлений.

  • Уметь: распознавать и классифицировать физические явления и соответствующие им теоретические модели; строить математические модели для новых явлений; выделять в моделях стандартные элементы и предельные случаи, сводящиеся к известным; использовать приближённые методы исследования нелинейных систем.

  • Владеть: методами построения и анализа моделей нескольких классов нелинейных явлений в физике сплошных сред.


^ 4. Структура и содержание дисциплины курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред»

Общая трудоемкость дисциплины составляет _____ зачетных единиц, _______ часов.






п/п


Раздел

дисциплины

Семестр

Неделя семестра

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)

^ Формы текущего контроля успеваемости

(по неделям семестра)

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

1

Цели и задачи курса. Порядок проведения экзаменов и сдачи заданий. Используемая литература. Общая структура и логика построения курса.
Повторение аппарата ФСС:

Тензоры и их координаты. Элементарные операции с тензорами. Инвариантные тензоры. Уравнения Максвелла для высокочастотного поля в сплошной среде. Решение уравнений Максвелла методом Фурье. Материальное уравнениие. Свободные электромагнитные волны в однородной среде. Дисперсионное уравнение и поляризация волн.

9-й

1-я

2 часа лекций

2 часа семинаров

Самостоятельное решение задач студентами на каждом семинаре. Самостоятельное решение студентами задач заданий во внеурочное время, а также исправление недочётов в процессе и во время еженедельной «приёмки заданий». Длительность «приёмки заданий» не регламентируется, т.к., индивидуально, но порядка 2 часов в неделю.

Разбор решений у доски на каждом семинаре.

Каждую неделю в дополнительное время проводится «приёмка заданий» -индивидуальная работа преподавателя с каждым студентом, на которой происходит проверка и обсуждение задач, заданных на дом. Установлены контрольные сроки сдачи заданий.




^ Слабонелинейные процессы






















2

Нелинейная диэлектрическая проницаемость. Матричные элементы взаимодействия волн.

Трёхволновое взаимодействие. Классичиские и сильные резонансные динамические нелинейности. Удвоение частоты в нелинейном кристалле. Распадные и нераспадные спектры.

9-й

2-я

2 часа лекций

2 часа семинаров










3

Симметрии матричных элементов, соотношения Мэнли-Роу. Уравнения Бломбергена. Оптомеханические эффекты. Дифракция света на звуковой волне.


9-й

3-я

2 часа лекций

2 часа семинаров










4

Четырёхволновое взаимодействие. Самосжатие и самофокусировка волновых пакетов. Критерий Лайтхилла. Квазилинейное волновое уравнение, квазилинейная релаксация.

9-й

3-я

2 часа лекций

2 часа семинаров.










5

Кинетическое уравнение для волн. Возникновение стохастичности (хаоса) в динамических системах. Концепция слабой турбулентности.

9-й

4-я

2 часа лекций

2 часа семинаров













^ Когерентные нелинейные процессы






















6

Гидродинамическая нелинейность. Координаты Лагранжа. Уравнение Хопфа. Простые волны. Образование поверхности разрыва в звуковой волне.

9-й

5-я

2 часа лекций

2 часа семинаров







Контрольный срок приёма первого задания

7

Гидродинамическая нелинейность и диссипация. Слабая ударная волна, уравнение Бюргерса. Классификация поверхностей разрыва в идеальном газе. Ударная волна. Адиабата Гюгонио.

9-й

6-я

2 часа лекций

2 часа семинаров










8

Направление изменения величин в ударной волне. Волны разрежения.

Гидродинамическая нелинейность и дисперсия. Нелинейные волны на мелкой воде, уравнение Кортевега-де Фриза.

9-й

7-я

2 часа лекций

2 часа семинаров










9

Кноидальные волны и солитоны. Бесстолкновительные ударные волны в плазме. Уравнение Захарова. Солитон огибающей.

9-й

8-я

2 часа лекций

2 часа семинаров










10

Вихревое движение жидкости. Вихри Росби. Циклоны и антициклоны в атмосфере земли.

9-й

9-я

2 часа лекций

2 часа семинаров







Контрольный срок приёма второго задания

11

Обтекание тонкого крыла. Подъёмная сила. Теорема Жуковского.

9-й

10-я

2 часа лекций лекций

2 часа семинаров










12

Дефекты в упругом теле. Предел упругости. Эффекты памяти в твёрдом теле, гистерезис в ферромагнетиках. Жидкие кристаллы, их оптические свойства и применения.

9-й

11-я

2 часа лекций

2 часа семинаров










13

Конвективная неустойчивость в атмосфере. Конвекция Релея-Бенара. Образование гексагональных структур. Динамика структуры конвективных ячеек при возрастании нагрева и переход к хаосу.

9-й

12-я

2 часов лекций

2 часа семинаров










14

Метод Галеркина для описания конвекции вязкой жидкости. Модель Лоренца. Странный аттрактор. Автоколебания в сплошных средах. Образование структур. Синергетика.

9-й

13-я

2 часа лекций

2 часа семинаров













Турбулентность






















15

Гидродинамические неустойчивости и модели перехода к турбулентности. Мягкое и жёсткое возбуждение. Квазипериодическое движение и синхронизация частот. Развитая турбулентность. Самоподобие поля скоростей. Корреляционные функции скоростей.

9-й

14-я

2 часа лекций

2 часа семинаров







Контрольный срок приёмки третьего задания

16

Каскадный перенос энергии. Спектр Колмогорова-Обухова. Логарифмический профиль турбулентного течения, турбулентное течение в трубах.

9-й

15-я

2 часа лекций

2 часа семинаров










18

Переход к статистическому описанию турбулентности. Усреднённые уравнения движения. Тензор напряжений Рейнольдса. Турбулентная диффузия и турбулентная вязкость. Расплывание пятна в турбулентной жидкости.

9-й

16-я

2 час лекций

2 часа семинаров










19

Турбулентная релаксация при наличии мягких и жёстких инвариантов. Релаксированные состояния, модель Тейлора для бессилового равновесия плазмы.

9-й

17-я

2 часа лекций

2 часа семинаров







Контрольный срок приёмки четвёртого задания

20







Зачётная неделя













Формой контроля успеваемости и усвоения материала является экзамен. Для допуска экзамену необходимо сдать все задачи из домашних заданий. В случае неудовлетворительной сдачи заданий в зачётную неделю проводится контрольная по решению задач, аналогичных несданным задачам задания.

^ Примерный план семинарских занятий (9-й семестр).

Слабонелинейные процессы


  1. Тензоры. Элементарные тензорные операции. Инвариантные тензоры. Уравнения Максвелла для высокочастотного поля в сплошной среде. Анализ волновых свойств среды на примере холодной плазмы. Нелинейная диэлектрическая проницаемость для холодной незамагниченной плазмы.

  2. Распадные и нераспадные спектры при трёхволновом взаимодействии. Графический метод определения ``распадности’’ спектра.

  3. Уравнения Бломбергена. Законы сохранения для трёх волн. ``Взрывная’’ неустойчивость при наличии волны с отрицательной энергией.

  4. Самосжатие и самофокусировка волновых пакетов. Геометрическая оптика для слабонелинейных волновых пакетов.

  5. Кинетическое уравнение для волн. Формирование спектра в замкнутой и открытой системах.


^ Когерентные нелинейные процессы


  1. Координаты Лагранжа. Уравнение Хопфа. Разлёт облака заряженной пыли. Обрушение волны в облаке пыли. Образование поверхностей разрыва в звуковой волне. Нелинейные искажения звука в акустических системах.

  2. Эволюция простой волны при наличии вязкости. Оценка ширины фронта ударной волны. Поверхности разрыва. Волна разрежения.

  3. Сильная ударная волна в газе. Отражение ударной волны от препятствия. Ударная волна с детонацией.

  4. Волны на мелкой воде. Классификация и свойства решений уравнения Кортевега-де Фриза. Солитоны в уравнениях Захарова и Кортевега- де Фриза.

  5. Обтекание, образование вихрей и подъёмная сила тонкого крыла в дозвуковом потоке.

  6. Жидкие кристаллы.

  7. Конвективная неустойчивость. Образование гексагональной структуры конвективных ячеек при конвекции Рэлея-Бенара.


Турбулентность


  1. Спектры в модели двумерной турбулентности. Турбулентность при наличии дополнительных интегралов движения.

  2. Разбегание траекторий пробных частиц в среде с развитой турбулентностью. Расплывание пятна.

  3. Ламинарный слой на границе турбулентного потока. Течение турбулентного потока по трубе.


^ 5. Образовательные технологии
Материал лекционного курса увязывается с передовыми исследованиями всюду, где это допускается уровнем знаний и подготовки студентов. Специально указываются темы, активно обсуждающиеся в текущей профессиональной научной литературе. Все семинарские занятия проводятся в интерактивной форме. Во время семинарских занятий поощряется система соревнования. Первый, решивший задачу, излагает ее для всей группы. Существенным элементом образовательных технологий является не только умение студента найти решение поставленной задачи, но и донести его до всей аудитории. Умение сходу отвечать на вопросы сокурсников и преподавателя развивает профессиональные навыки, которые будут незаменимы в дальнейшей профессиональной деятельности. Важным элементом является еженедельная «приёмка заданий», на которой происходит индивидуальное обсуждение задач с каждым студентом. Это позволяет вовремя выявлять и исправить недопонимание тех или иных теоретических вопросов.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Примерные домашние задания по курсу

«Нелинейные процессы в физике сплошных сред»

(9-й семестр).

^ ЗАДАНИЕ №1



  1. Волна t с законом дисперсии t(k)=ak3/4 распадается по схеме t t'+s на волну t' аналогичного типа и звуковую волну s с законом дисперсии s(k)=kcs. Найти минимальную длину исходной волны, при которой возможен распад.

  2. Плоская электромагнитная волна с частотой падает под углом на толстую плоскопараллельную пластину, в которой создана стоячая звуковая волна, так что диэлектрическая проницаемость пластины модулирована: (x,t)=1++sin(k'x)sin('t), где << 1, '/k' = cs, x – координата по нормали к поверхности пластины. а). Найти углы , при которых коэффициент отражения от всей пластины порядка единицы. Отражением от поверхности пренебречь. б). Найти коэффициент конверсии волны при прохождении через пластину толщиной L по нормали.

  3. Известно, что среда имеет небольшой показатель поглощения, а при нагревании её показатель преломления линейно увеличивается с температурой. Кроме того, групповая скорость электромагнитной волны велика по сравнению со скоростью установления теплового равновесия поперёк луча. Будет ли в этой среде наблюдаться самосжатие или самофокусировка мощного лазерного излучения? Почему?



^ ЗАДАНИЕ №2



  1. Ударная волна с числом Маха M распространяется в идеальном одноатомном газе с давлением p и плотностью . Во фронте волны происходит химическая реакция, делающая газ идеальным двухатомным с выделением энергии на единицу массы газа равным q. Найти максимальное q, при котором существуют слабые ударные волны (M=1+).

  2. Оценить расстояние от динамика, на котором нелинейные искажения звука превышают 10%, если считать, что динамик идеально воспроизводит звук с амплитудой по давлению в 0,1% от атмосферного давления. Длина волны звука - около 1м.

  3. Оценить скорость ветра на высоте 1км в циклоне диаметром 500км на средних широтах, если падение давления в его центре составляет 10% от атмосферного.

Задания сдаются в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием заданий).

  • Контрольный срок приёма задания назначается преподавателем семинаров на неделе, следующей за той, на которой пройден материал, необходимый для решения последней задачи.

  • Задача считается сданной вовремя, если она сдана не позже контрольного срока. После контрольного срока не сданные вовремя задачи разрешается досдавать только при условии выполнения учебного плана по текущему заданию.

  • Неспособность студента быстро ответить на технические вопросы по представленному решению считаются попыткой сдать списанную задачу. В этом случае задача не принимается.

  • Приём заданий прекращается 30 мая!

  • Для допуска к экзамену достаточно сдать все задачи из Задания.

  • В случае, если сданы не все задачи (но осталось сдать не более четырёх), студенту в зачётную неделю (до 30 мая) предлагается написать контрольную работу, содержащую задачи, аналогичные не сданным. В случае неудовлетворительной оценки такой студент к экзамену не допускается.



^ Дополнительные задачи и вопросы по курсу

«Нелинейные процессы в физике сплошных сред»

(9-й семестр).


  1. Доказать, что линии завихренности (всюду касательные к направлению rot v) при изэнтропическом течении идеальной жидкости сохраняются и переносятся вместе с жидкостью.

  2. Как взаимодействуют два тонких параллельных вихря?

  3. Тяжёлый шарик радиуса a, находящийся в идеальной несжимаемой жидкости на расстоянии l >> a от твёрдой стенки, совершает радиальные колебания с малой амплитудой x << a и с частотой . Найти силу отталкивания (или притяжения?) шарика от стенки. Плотность жидкости . Плотность шарика значительно больше плотности жидкости.

  4. Найти расход газа при его истечении в вакуум через идеальное сверхзвуковое сопло (Лаваля). Газ считать идеальным и политропным, его давление и плотность в резервуаре заданы, задано также площадь сечения сопла в самом узком месте.

  5. Почему сопло пожарного брандспойта к концу сужается, а сопло ракетного двигателя - расширяется?


^ 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература


  1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.6, Гидродинамика. М: Наука, 1988.

  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.7, Теория упругости. М: Наука, 1987.

  3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.8, Электродинамика сплошных сред. М: Наука, 1992.

  4. Векштейн Г.Е. Физика сплошных сред в задачах. М: Институт компьютерных исследований, 2002 (номера в программе семинаров даны по изданию Новосибирск: изд-во НГУ, 1991, как более распространённому)

  5. Лотов К.В. Физика сплошных сред. Новосибирск: НГУ, 2001.


б) дополнительная литература:

  1. Седов Л.И. Механика сплошной среды, тт.I,II М: Наука, 1973

  2. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, вып. 5 - 7, Мир, Москва (1966).

  3. Дж.А. Стреттон, Теория электромагнетизма, ИЛ, Москва-Ленинград (1948).

  4. Л.А. Вайнштейн, Электромагнитные волны, Радио и связь, Москва (1988).

  5. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, Наука, Москва (2001)

  6. Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Современное состояние электродинамики движущихся сред (безграничные среды) // УФН т.114, вып.4, С.569 (1974).

  7. Ландсберг Г.С. Оптика, М.: Физ.-мат. Лит., 2003

  8. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Из-во иностранной литературы, 1963

  9. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд. ЛГУ, 1978

  10. А. Г. Горшков, Л. Н. Рабинскй, Д. В. Тарлаковский Основы тензорного анализа и механика сплошной среды

  11. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. М.: Наука, 1975

  12. Снеддон И. Н., Берри Д. С., Классическая теория упругости, пер. с англ., М., 1961;

  13. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Н., Теория упругости, пер. с англ., М., 1975.

  14. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. Физматгиз, 1959

  15. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М., «Высшая школа»,1981


в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Экран и проектор компьютерных изображений для демонстрации иллюстраций и симуляций.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании ____________________________________________

(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)

от ___________ года.





Похожие:

Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconНелинейные процессы в физике сплошных сред
Уравнения Максвелла для высокочастотного поля в сплошной среде. Нелинейная диэлектрическая проницаемость. Матричные элементы взаимодействия...
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconПримерная программа учебного курса (учебной дисциплины) Программа курса «Физика сплошных сред»
Учебный курс «Физика сплошных сред» является частью профессионального цикла подготовки бакалавра физики. Дисциплина изучается студентами...
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconНелинейнпя механика микронеоднородных сред и распространение волн....
Корреляция электро-теплопроводности и проницаемости с упругими характеристиками поровотрещиноватых сред
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconРабочая программа Математические модели механики сплошных сред 2013/14 уч г
Настоящая дисциплина представляет собой семестровый курс лекций и семинарских занятий. Лекции проводятся один раз в неделю, семинарские...
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconПрограмма курса "Электроника детекторов"
Акимов, игнатьев, калинин, кушнирук. Полупроводниковые детекторы в экспериментальной физике
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconРабочая программа по физике для 7 класса составлена на основе примерной...
В. А. Орлова, О. Ф. Кабардина, В. А. Коровина и др., авторской программы по физике под редакцией Е. М. Гутник, А. В. Перышкина, федерального...
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» icon9 класс «Эксперименты и занимательные опыты по физике»
Программа курса рассчитана на 17 часов (1 час в неделю в течение 1-го или 2-го полугодия)
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconПрограмма курса “Исследование операций”. Лектор – проф. Л. Г. Афанасьева
Процессы управления запасами и производством. Одношаговая модель закупки в течение короткого торгового сезона
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconМетодика преподавания предмета и нормативно правовые вопросы образования...
Приоритетами для школьного курса физики на этапе основного и полного общего образования являются
Программа курса нелинейные процессы в физике сплошных сред программа курса «Нелинейные процессы в физике сплошных сред» iconЕсли между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения,...
Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница