О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм




Скачать 128.86 Kb.
НазваниеО представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм
страница1/2
Дата публикации16.05.2013
Размер128.86 Kb.
ТипДокументы
litcey.ru > Физика > Документы
  1   2


Журнал технической физики, том XVIII, вып. 7, 1948

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ.
Несмотря на то, что утверждение о возможности разложения произвольного поля в волноводе на сумму трансверсального электрического поля ТЕ и трансверсального магнитного поля ТМ неоднократно высказывалось рядом авторов1, однако мы нигде не встречали какого-либо доказательства этого, казалось бы, очевидного факта. Целью настоящей статьи является проведение строгого математического доказательства полноты системы ТЕ и ТМ полей для волновода произвольной формы. Таким образом, будет доказано, что любое электромагнитное поле в волноводе может быть представлено при помощи двух векторов Герца, имеющих лишь по одной отличной от нуля компоненте. Тем самым проблема определения электромагнитных полей в волноводе сводится к задаче нахождения двух скалярных функций и (продольных компонент электрического и магнитного векторов Герца).

1. Пусть в направлении оси простирается бесконечный полый цилиндр с идеально проводящими стенками, поперечным сечением , форма которого определяется кривой . В плоскости перпендикулярного сечения расположены оси и .

Для электромагнитного поля внутри такого волновода, в силу идеальной проводимости стенок, имеет место граничное условие и, следовательно,

и, следовательно, (1)

Каждая из компонент и удовлетворяет волновому уравнению, краевым условиям

(2)

и принципу излучения на бесконечности, который мы берем в виде отсутствия волн, приходящих из бесконечности.

Рассмотрим некоторое электромагнитное поле внутри волновода, зависящее от времени по закону (этот фактор, как обычно, опускаем), регулярное всюду в области . Покажем, что это поле можно представить в виде суммы полей

(3)

причем и т. е. первое поле является трансверсальным магнитным, а второе - трансверсальным электрическим.

Если и - электрический и магнитный векторы Герца, то можно записать (3) следующим образом

(4)

причем и имеют лишь по одной отличной от нуля компоненте вдоль оси волновода (оси ), так что



где - орт оси .

Переходя в (4) к отдельным компонентам поля получим

(5)

Мы должны доказать возможность определения векторов и по заданному полю . Как будет показано, для определения и достаточно использовать не все компоненты поля, а лишь две его составляющие и , которые тем самым полностью определяют все остальные компоненты поля.

Тогда векторы Герца и должны удовлетворять уравнениям

(6)

а также волновым уравнениям

(7)

Мы будем определять функции и из уравнений

(8)

( - двухмерный оператор Лапласа), которые должны выполняться в силу (6) и (7).

Кроме того, и должны удовлетворять краевым условиям

(9)

2. Уравнения (8) представляют собой уравнения Пуасcона и могут быть без труда решены с помощью соответствующей функции Грина

(10)

(11)

где - функция Грина закрепленной мембраны; - функция Грина свободной мембраны; и - точка наблю­дения и точка интегрирования в плоскости перпендикулярного сечения.

Такое определение является однозначным и возможно для тех областей , для которых существует функция Грина.

Покажем, что функции и , определяемые форму­лами (10) и (11), удовлетворяют волновым уравнениям (7) и тем самым уравнениям (6).

Как показано в «Добавлении», функции и имеют непрерывные производные по в области . Отсюда следует существование -про­изводных функций и которые можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. При этом особенности функ­ции Грина никаких осложнений не вызывают. Поэтому

(12)

Учитывая, что

, (13)

получим



Последний интеграл, в силу свойства функции Грина, равен . Пользуясь, наконец, определяющим функцию уравнением (8), находим



Аналогично убеждаемся в том, что

.

В уравнениях (8) переменная играет роль параметра. Функ­ции и в каждом перпендикулярном сечении при фик­сированном полностью определяются значениями и соответственно в этом сечении. Нетрудно видеть из (10) и (11), что и удовлетво­ряют принципу излучения при , так как этот принцип имеет место для величин и .

3. Итак, считая поле заданным всюду в области и беря только две компоненты поля и , мы нашли векторы Герца и , кото­рым, согласно формулам (4), соответствует некоторое поле , которое мы будем называть вычисленным полем. При этом, очевидно,



Мы должны доказать тождество поля вычисленного с полем заданным .

С этой целью подставим вычисленные по (10) и (11) величины и в уравнения (5) и затем воспользуемся уравнениями Максвелла

. (14)

Тогда будем иметь

. (15)

Такие же соотношения, очевидно, имеют место и для заданных полей . При этом на границе выполняется краевое условие



и соответственно



Здесь и - косинусы тангенциального направления в плоско­сти . Вводя функции

(16)

и учитывая (13), получим

(17)

(18)

Нетрудно видеть отсюда, что уравнения (17) с граничным условием (18) представляют собой известную проблему Гильберта.

Найти две сопряженные функции и внутри области , определяемые условиями

внутри , (19)

, (20)

где - некоторая заданная на контуре функция дуги .

Проблема Гильберта, как известно, имеет единственное решение. В силу однородности краевого условия (18), отсюда следует, что

(21)

т.е.



Так как, согласно (13), то из уравнения Максвелла



сразу же вытекает, что



Таким образом, доказано полное совпадение полей вычисленных с полями заданными



Этим самым установлено, что всякое электромагнитное поле в вол­новоде полностью определяется его компонентами и , откуда, в частности, согласно вышеизложенному, и следует возможность пред­ставления любого поля в волноводе в виде суммы поперечного электри­ческого и поперечного магнитного полей, в области, где отсутствуют источники.
  1   2

Похожие:

О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconРешение. Нетрудно показать, что выполняется условие
Теперь, используя свойства введенных операторов, изучим свойства самих полей. Рассмотрим наиболее распространенные типы векторных...
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconТермометрия скважин
Измерение температуры по стволу скважины производят в целях изучения: естественного теплового поля Земли; местных тепловых полей;...
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconРешение. Коэффициенты Ламе в цилиндрической системе координат выражаются формулами
Эти понятия мы вводили в декартовой прямоугольной системе координат. Отметим, что для векторного поля также можно рассматривать градиенты...
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconМетодические рекомендации по организации электронного документооборота...
В настоящих Методических рекомендациях по организации электронного документооборота при представлении налогоплательщиками налоговых...
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconЛабораторная работа №6. Методы и поля. Обработка исключений
Цель работы – изучить возможности языка по обработке исключений, получить практические навыки использования полей и методов, а также...
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconБинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество
Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. Упорядоченное поле. Система действительных чисел
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconКурс лекций “молекулярное моделирование биополимеров” Лекции 1-2...
Приближения, используемые в методах эмпирических силовых полей (периодические граничные условия, функции обрезания потенциала, зарядовые...
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconИнкапсуляция поля позволяет быстро создавать из существующего поля...
Чтобы создать новое поле, операция Инкапсуляция поля заменяет модификатор доступа поля, которое нужно инкапсулировать, на private...
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconПамятка «Использование поиска»
Для ввода критериев поиска в формах ииас «Учебный процесс» нажмите клавишу или кнопку. Поля, по которым может быть осуществлен поиск,...
О представлении поля в волноводе в виде суммы полей те и тм iconСбербанк россии ОАО
Просим Вас заполнить данное Обращение. Звездочкой отмечены поля, обязательные для заполнения. При не заполнении обязательных полей...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница