Многочлен Тейлора




НазваниеМногочлен Тейлора
Дата публикации03.10.2013
Размер28.5 Kb.
ТипДокументы
litcey.ru > Информатика > Документы

Многочлен Тейлора


Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена16 .

Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция определена в некоторой окрестности некоторой точки и имеет всюду в окрестности производные при . Многочленом Тейлора степени в точке называется такой многочлен степени , такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке , равны соответствующим значениям функции и её производных до порядка в этой же точке:



Если это условие совпадения выполнено, то графики функций и , по крайней мере при , близких к , будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство



означает, что графики проходят через одну и ту же точку ; равенство



означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной -- это общий угловой коэффициент касательной); равенство



означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен степени вида



CLX.ru - реклама в интернет

можно представить в виде, расположенном по степеням бинома :



и наоборот, раскрыв скобки в последней формуле, мы можем получить многочлен по степеням .

Действительно, положив , мы можем подставить в правую часть формулы , раскрыть степени при по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены. Все коэффициенты (кроме ) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие ( в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома , имеющий ту же степень .

Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде



при некоторых коэффициентах , пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора по значениям производных данной функции в точке .

Учтём требование к значению многочлена: . Подставив в равенство (Тейлор 1) , получим, что , так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым



Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от равна



Подставив в равенство (Тейлор 2) значение , получим, что , так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда



Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: . Вторая производная от равна



Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение , получим, что , откуда



Далее нетрудно сообразить, что получится , откуда



и вообще,



   

при . Учитывая, что , , , , ..., последнюю формулу можно записать в виде



   

Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции в точке имеет вид


Похожие:

Многочлен Тейлора iconОстаток в формуле Тейлора и его оценка
Разность между функцией и её многочленом Тейлора называется -м остатком, или -м остаточным членом; обозначим этот остаток через
Многочлен Тейлора icon№1 Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида. (x-2 (x-2) × (x+2)

Многочлен Тейлора iconЗадание n 24. Если, то коэффициент а4 разложения данной функции в...
Если, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням (х–1) равен…
Многочлен Тейлора iconПриведение квадратичных форм к каноническому
Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2
Многочлен Тейлора iconПримеры исследования функций и построения графиков
Функция многочлен, а у всех многочленов область определения вся вещественная ось
Многочлен Тейлора iconИсследование функций
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения
Многочлен Тейлора iconРяды Индивидуальные задания
Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки и найти его область сходимости
Многочлен Тейлора iconОбщий член последовательности имеет вид…
Если, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням (х–1) равен…
Многочлен Тейлора iconВариационное исчисление и оптимальное управление
Теоремы дифференциального исчисления без доказательства (о суперпозиции, формула Тейлора, о полном дифференциале). Контрпримеры на...
Многочлен Тейлора iconПрограмма для поступающих в аспирантуру по специальности 05. 13....
Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях, теоремы об экстремуме функций, формула Тейлора )
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница