Многочлен Тейлора
Скачать 28.5 Kb.
|
Многочлен ТейлораМногочлен  , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции  , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена16 . Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция определена в некоторой окрестности  некоторой точки  и имеет всюду в окрестности  производные  при  . Многочленом Тейлора степени  в точке  называется такой многочлен степени , такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке , равны соответствующим значениям функции и её производных до порядка в этой же точке:  Если это условие совпадения выполнено, то графики функций  и  , по крайней мере при  , близких к , будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство  означает, что графики проходят через одну и ту же точку  ; равенство  означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной -- это общий угловой коэффициент касательной); равенство  означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д. Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен степени вида    CLX.ru - реклама в интернет можно представить в виде, расположенном по степеням бинома  :  и наоборот, раскрыв скобки в последней формуле, мы можем получить многочлен по степеням . Действительно, положив  , мы можем подставить  в правую часть формулы  , раскрыть степени  при  по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены. Все коэффициенты  (кроме  ) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие ( в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома  , имеющий ту же степень . Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде  при некоторых коэффициентах  , пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора по значениям производных данной функции в точке . Учтём требование к значению многочлена: . Подставив в равенство (Тейлор 1)  , получим, что  , так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым  Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от равна  Подставив в равенство (Тейлор 2) значение , получим, что  , так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда  Следующее требование -- к значению второй производной многочлена:  . Вторая производная от равна  Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение , получим, что  , откуда  Далее нетрудно сообразить, что получится  , откуда  и вообще,
при  . Учитывая, что  ,  ,  ,  , ..., последнюю формулу можно записать в виде
Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции в точке имеет вид  |
Похожие:
 | Остаток в формуле Тейлора и его оценка Разность между функцией и её многочленом Тейлора называется -м остатком, или -м остаточным членом; обозначим этот остаток через |  | №1 Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида. (x-2 (x-2) × (x+2) |
| Задание n 24. Если, то коэффициент а4 разложения данной функции в... Если, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням (х–1) равен… | | Приведение квадратичных форм к каноническому Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2 |
| Примеры исследования функций и построения графиков Функция многочлен, а у всех многочленов область определения вся вещественная ось | | Исследование функций Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения |
| Ряды Индивидуальные задания Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки и найти его область сходимости | | Общий член последовательности имеет вид… Если, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням (х–1) равен… |
| Вариационное исчисление и оптимальное управление Теоремы дифференциального исчисления без доказательства (о суперпозиции, формула Тейлора, о полном дифференциале). Контрпримеры на... | | Программа для поступающих в аспирантуру по специальности 05. 13.... Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях, теоремы об экстремуме функций, формула Тейлора ) |