Исследование функций с помощью производной




Скачать 103.46 Kb.
НазваниеИсследование функций с помощью производной
Дата публикации06.03.2014
Размер103.46 Kb.
ТипИсследование
litcey.ru > Математика > Исследование
Исследование функций с помощью производной.

Возрастание и убывание функций.
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Доказательство.

  1. Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) < f(x) при х<0,

тогда:


2) Пусть f(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x12.

Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f()(x2 – x1), x1 <  < x2

По условию f()>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Теорема доказана.
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).
Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:
y y


   

x x

^ Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.
Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:

, т.е.



Тогда





По определению:


Т.е. если х0, но х<0, то f(x1)  0, а если х0, но х>0, то f(x1)  0.

А возможно это только в том случае, если при х0 f(x1) = 0.
Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.
^ Пример: f(x) = x Пример: f(x) =
y y

x


x

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

водной.
Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

^ Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.
Пусть
По теореме Лагранжа: f(x) – f(x1) = f()(xx1), где x <  < x1.
Тогда: 1) Если х < x1, то  < x1; f()>0; f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
2) Если х > x1, то  > x1 f()<0; f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума.
Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.
Теорема доказана.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:


  1. Найти критические точки функции.

  2. Найти значения функции в критических точках.

  3. Найти значения функции на концах отрезка.

  4. Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.


Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков.
Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.
Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.
Доказательство.
Пусть f(x1) = 0 и f(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f(x1)=0, т.е. f(x) > 0 при х1 и f(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.
Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.
Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.
^ Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
у

x
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство. Пусть х0  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x);

Уравнение касательной:

Следует доказать, что .
По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): , x0 < c < x.

По теореме Лагранжа для
Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию

, следовательно, .
Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию то

.
Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).
Теорема доказана.
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.


  1. Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.


Теорема доказана.

Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.



Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

^ Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

M





N

 P

Q

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.
По условию: , NMP = , .

Угол  - постоянный и не равный 900, тогда



Тогда .
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:


Т.к. х, то , т.к. b = const, то .
Тогда , следовательно,




.
Т.к. , то , следовательно,





Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0: y- x0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:





Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:



Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты:



y = 0 – горизонтальная асимптота.


Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.



Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.



^ Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:


  1. Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

  1. Точки разрыва. (Если они имеются).

  2. Интервалы возрастания и убывания.

  3. Точки максимума и минимума.

  4. Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

  5. Области выпуклости и вогнутости.

  6. Точки перегиба.(Если они имеются).

  7. Асимптоты.(Если они имеются).

  8. Построение графика.


Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-; ).

^ Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции


Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции







.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < -, y < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y > 0, кривая вогнутая

< x < , y > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
- < x < -, y > 0, функция возрастает

- < x < -1, y < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < , y < 0, функция убывает

< x < , y > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3/2 и 3/2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.




Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:

Похожие:

Исследование функций с помощью производной iconВопросы к экзамену по дисциплине «Математика»
Приложение производной к исследованию функций на экстремумы (с помощью 1 и 2 производной)
Исследование функций с помощью производной iconИсследование функций
Определение. Производной функции f(X) в точке Х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...
Исследование функций с помощью производной iconИсследование функций тема исследование функций
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб для вузов: в 3т. 5-е изд.,стер. М.: Дрофа. (Высшее образование. Современный...
Исследование функций с помощью производной iconПрезентация «Связь свойств функции и свойств ее производной»
Область определения производной + вывод о критических точках «первого вида», в которых производная не существует (вертикальная касательная...
Исследование функций с помощью производной icon1. Таблица и правила нахождения производной
Производная произведения равна производной первого множителя, умноженного на второй множитель, плюс производная второго множителя,...
Исследование функций с помощью производной iconИспользование непрерывности функций при вычислении пределов
Выше, в примерах 17 и 23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью...
Исследование функций с помощью производной iconИсследование функций
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения
Исследование функций с помощью производной iconМетодические указания по подготовке к экзамену для студентов заочной формы обучения зэ11
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Исследование функций с помощью производной iconУчебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения...
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Исследование функций с помощью производной iconУчебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения...
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница