Исследование функций тема исследование функций

Скачать 100.27 Kb.

Название	Исследование функций тема исследование функций
Дата публикации	10.03.2014
Размер	100.27 Kb.
Тип	Исследование

litcey.ru > Математика > Исследование

Контрольная работа №6

Исследование функций

ТЕМА 6. Исследование функций.

Функция, основные свойства.
Наибольшее и наименьшее значение функции, заданной на ограниченном промежутке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.

Решение типового варианта контрольной работы
Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке

Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует):

при

Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка

Выберем из предложенных значений наибольшее и наименьшее.

Итак, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 2 и достигается при

, а наименьшее значение равно -18 при

Пример 2.

Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение.
Общая схема исследования функций:

Найти область определения функции.
Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.
Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
Найти наклонные асимптоты графика функции.
Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

1. Функция не определена, если

Область определения:

2. Т.к.

- точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т.к. пределы равны

значит

точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая

- вертикальная асимптота.

Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

Область определения симметрична относительно начала координат

Если

четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

Функция не является периодической

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем промежутки знакопостоянства функции

5. Найдем наклонные асимптоты

где

Для

k и b вычисляются аналогично

6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.

Возрастание и убывание функции

характеризуется знаком ее производной

: если в некотором интервале

, то в этом интервале функция возрастает, а если

, то функция убывает в этом интервале.

Функция

может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если

меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если

меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если

не меняет знак при переходе через точку

, в этой точке экстремума нет.

Найдем все точки из области определения функции

, в которых производная

обращается в ноль или не существует.

Составим таблицу

	-2		1		7
+	0	+	не существует	-	0	+
	0		не существует
возрастает		возрастает		убывает	min	возрастает

Функция возрастает на интервалах

и убывает на интервале

. Точка

есть точка минимума

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Напомним, что график функции

называется выпуклым на интервале

, если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции

называется вогнутым на интервале

, если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Перегиб возможен в точках, в которых

равна нулю или не существует. Если

на интервале

, то график функции является выпуклым

на этом интервале, если же

, то на интервале

график вогнутый

.
Найдем точки перегиба

Составим таблицу

	-2		1
-	0	+	не существует	+
	0		не существует

Точка

- точка перегиба.

Дополнительные точки:

8. Построим график функции, используя результаты исследования.

Замечание:

При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.

Вариант 1

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 2

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 3

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 4

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 5

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 6

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 7

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 8

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 9

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 10

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 11

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 12

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 13

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 14

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 15

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 16

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 17

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 18

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 19

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 20

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 21

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 22

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 23

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 24

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 25

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 26

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 27

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 28

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 29

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 30

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Исследовать функцию и построить ее график:

	Исследование функций Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения		Методические указания по подготовке к экзамену для студентов заочной формы обучения зэ11 Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
	Учебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения... Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...		Учебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения... Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
	«Исследование функции на четность» Повторить определение функции. Ввести понятие симметричного множества, определения четной и нечетной функции. Рассмотреть свойства...		Исследование функций Определение. Производной функции f(X) в точке Х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...
	Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т к все полученные результаты...		Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций... Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных...
	Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций... Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных...		Исследование функций с помощью производной Теорема. 1) Если функция f(X) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке...

Исследование функций тема исследование функций

Похожие: