Интервальные оценки




Скачать 84.21 Kb.
НазваниеИнтервальные оценки
Дата публикации24.04.2014
Размер84.21 Kb.
ТипДокументы
litcey.ru > Математика > Документы

Тема 14

Интервальные оценки.


Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.

Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности (или случайной величины , определенной на множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот параметр через . По сделанной выборке по определенным правилам найдем числа 1 и 2, так чтобы выполнялось условие:

P(1< < 2) =P ((1; 2)) = 

Числа 1 и 2 называются доверительными границами, интервал (1, 2) — доверительным интервалом для параметра . Число  называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.

Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0,95, 0,99 или 0,999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в интервал (1, 2) достаточно высока. Число (1 + 2) / 2 – середина доверительного интервала – будет давать значение параметра с точностью (2 1) / 2, которая представляет собой половину длины доверительного интервала.

Границы 1 и 2 определяются из выборочных данных и являются функциями от случайных величин x1, x2,..., xn , а следовательно – сами случайные величины. Отсюда – доверительный интервал (1, 2) тоже случаен. Он может покрывать параметр или нет. Именно в таком смысле нужно понимать случайное событие, заключающееся в том, что доверительный интервал покрывает число .
^

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.


Пусть случайная величина (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D = 2 ( > 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема n. Выборка x1, x2,..., xn рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как  (подход, которому дано объяснение выше по тексту).

Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:

Mx1 = Mx2 = ... = Mxn = M; Dx1 = Dx2 = ... = Dxn = D; M; D /n;

Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина в данном случае также распределена по нормальному закону.

Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности  число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P(a < d) = (1)

Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M = a и дисперсией D = D /n =  2/n, получаем:

P(a < d) =P(a – d < < a + d) =

=

Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство или .

Для любого  [0;1] можно по таблице найти такое число t, что
( t )= / 2. Это число t иногда называют квантилем.

Теперь из равенства определим значение d: d =  t/.

Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:

.

Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью доверительный интервал



покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью d= t / и надежностью .

Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью =0,99.

Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства  (t) =  / 2 = 0,495. По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d= 2,52,58 /  1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).
^

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.


Пусть  случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием M, которое обозначим буквой a . Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию s2 по известным формулам.

Случайная величина



распределена по закону Стьюдента с n – 1 степенями свободы.

^ Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности и по числу степеней свободы n – 1 найти такое число t , чтобы выполнялось равенство

(2)

или эквивалентное равенство

(3)

Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности  , а также от параметров выборки и s.

Чтобы определить значение t по величине , равенство (2) преобразуем к виду:



Теперь по таблице для случайной величины t, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 –  и числу степеней свободы n – 1 находим t . Формула (3) дает ответ поставленной задачи.

Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.

Решение. Величина 1 –  в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: t = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,09311/ = 5,14. Отсюда получаем искомый доверительный интервал (1994,86; 2005,14).
^

Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения.


Пусть случайная величина распределена по нормальному закону, для которого дисперсия D неизвестна. Делается выборка объема n . Из нее определяется исправленная выборочная дисперсия s2. Случайная величина распределена по закону 2 c n –1 степенями свободы. По заданной надежности можно найти сколько угодно границ 12 и 22 интервалов, таких, что

(*)

Найдем 12 и 22 из следующих условий:

P(2  12) = (1 –  )/ 2 (**)

P(2  22) = (1 –  )/ 2 (***)

Очевидно, что при выполнении двух последних условий справедливо равенство (*).

В таблицах для случайной величины 2 обычно дается решение уравнения P(2 q2) = q. Из такой таблицы по заданной величине q и по числу степеней свободы n – 1 можно определить значение q2. Таким образом, сразу находится значение 22 в формуле (***).

Для определения 12 преобразуем (**):

P(2  12) = 1 – (1 –  )/ 2 = (1 +  )/ 2

Полученное равенство позволяет определить по таблице значение 12.

Теперь, когда найдены значения 12 и 22, представим равенство (*) в виде

.

Последнее равенство перепишем в такой форме, чтобы были определены границы доверительного интервала для неизвестной величины D:

.

Отсюда легко получить формулу, по которой находится доверительный интервал для стандартного отклонения:

(****)

Задача. Будем считать, что шум в кабинах вертолетов одного и того же типа при работающих в определенном режиме двигателях — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Было случайным образом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума (в децибеллах) в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5. Найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума в кабинах вертолетов данного типа с надежностью 98%.

Решение. По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности (1 – 0,98)/2 = 0,01 находим из таблицы распределения 2 величину
22 = 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,98)/2 = 0,99 получаем 12 = 7,63. Используя формулу (****), получаем искомый доверительный интервал: (3,44; 7,49).
Задача. При изучении коммерческой деятельности торговой фирмы Lewis Products были получены величины xi суточного объема продаж в 20 случайно выбранных суток. Эти величины (в тыс. долларов США) представлены в таблице.

1. Найти несмещенные точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины  – суточного объема продаж фирмы Lewis Products.

Считая, что случайная величина имеет нормальное распределение, выполнить задания 2 – 5.

2. Найти интервальную оценку M при надежности 1, считая дисперсию известной и равной 02.

3. Найти интервальную оценку дисперсии D  при надежности 2.

Таблица.






1

1890

2

2120

3

2150

4

1950

5

1890

6

2010

7

2100

8

1990

9

1900

10

2130

11

2100

12

1990

13

2000

14

2110

15

2100

16

2130

17

2000

18

2020

19

1950

20

1990







1

0.95

2

0.98

02

6960



Похожие:

Интервальные оценки icon-
Экзаменационная оценка по предмету «Социология религии» складывается из оценки на экзамене по теоретической части, оценки за ответы...
Интервальные оценки icon«утверждаю» Заведующий кафедрой гигиенических дисциплин
...
Интервальные оценки iconСписок документов и сведений, предоставляемых Оценщику для оценки...
Выписка из списка основных средств предприятия по объектам оценки с указанием даты постановки на учет, первоначальная балансовая...
Интервальные оценки iconСовершенствование методики оценки кредитоспособности Сбербанка России и её апробация
Омых частей банковских активов – улучшению методики оценки кредитоспособности заёмщика. Подавляющее число банкротств кредитных организаций...
Интервальные оценки iconПротокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе...
...
Интервальные оценки iconПротокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе...
Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №43
Интервальные оценки iconПротокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе...
Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №30
Интервальные оценки iconПротокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе...
Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №30
Интервальные оценки iconПротокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе...
Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №30
Интервальные оценки iconПротокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе...
Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №30
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница