Интервальные оценки
Скачать 84.21 Kb.
|
Тема 14 Интервальные оценки.Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным. Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности (или случайной величины , определенной на множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот параметр через . По сделанной выборке по определенным правилам найдем числа 1 и 2, так чтобы выполнялось условие: P(1< < 2) =P ((1; 2)) = Числа 1 и 2 называются доверительными границами, интервал (1, 2) — доверительным интервалом для параметра . Число называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки. Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0,95, 0,99 или 0,999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в интервал (1, 2) достаточно высока. Число (1 + 2) / 2 – середина доверительного интервала – будет давать значение параметра с точностью (2 – 1) / 2, которая представляет собой половину длины доверительного интервала. Границы 1 и 2 определяются из выборочных данных и являются функциями от случайных величин x1, x2,..., xn , а следовательно – сами случайные величины. Отсюда – доверительный интервал (1, 2) тоже случаен. Он может покрывать параметр или нет. Именно в таком смысле нужно понимать случайное событие, заключающееся в том, что доверительный интервал покрывает число . ^ Пусть случайная величина (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D = 2 ( > 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема n. Выборка x1, x2,..., xn рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как (подход, которому дано объяснение выше по тексту). Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства: Mx1 = Mx2 = ... = Mxn = M; Dx1 = Dx2 = ... = Dxn = D;  M;  D /n;Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина  в данном случае также распределена по нормальному закону.Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности число d > 0 так, чтобы выполнялось условие: P(  – a < d) = (1)Так как случайная величина  распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M = a и дисперсией D = D /n = 2/n, получаем:P(  – a < d) =P(a – d < < a + d) ==  Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство  или  .Для любого [0;1] можно по таблице найти такое число t, что ( t )= / 2. Это число t иногда называют квантилем. Теперь из равенства  определим значение d: d = t/ .Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:  .Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью доверительный интервал  покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью d= t / и надежностью .Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью =0,99.Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства (t) = / 2 = 0,495. По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d: d = 2,52,58 /  1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).^ Пусть – случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием M, которое обозначим буквой a . Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию s2 по известным формулам.Случайная величина  распределена по закону Стьюдента с n – 1 степенями свободы. ^ n – 1 найти такое число t , чтобы выполнялось равенство  (2)или эквивалентное равенство  (3)Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности , а также от параметров выборки и s.Чтобы определить значение t по величине , равенство (2) преобразуем к виду:  Теперь по таблице для случайной величины t, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 – и числу степеней свободы n – 1 находим t . Формула (3) дает ответ поставленной задачи. Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины. Решение. Величина 1 – в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: t = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,09311/  = 5,14. Отсюда получаем искомый доверительный интервал (1994,86; 2005,14). ^ Пусть случайная величина распределена по нормальному закону, для которого дисперсия D неизвестна. Делается выборка объема n . Из нее определяется исправленная выборочная дисперсия s2. Случайная величина  распределена по закону 2 c n –1 степенями свободы. По заданной надежности можно найти сколько угодно границ 12 и 22 интервалов, таких, что  (*)Найдем 12 и 22 из следующих условий: P(2 12) = (1 – )/ 2 (**) P(2 22) = (1 – )/ 2 (***) Очевидно, что при выполнении двух последних условий справедливо равенство (*). В таблицах для случайной величины 2 обычно дается решение уравнения P(2 q2) = q. Из такой таблицы по заданной величине q и по числу степеней свободы n – 1 можно определить значение q2. Таким образом, сразу находится значение 22 в формуле (***). Для определения 12 преобразуем (**): P(2 12) = 1 – (1 – )/ 2 = (1 + )/ 2 Полученное равенство позволяет определить по таблице значение 12. Теперь, когда найдены значения 12 и 22, представим равенство (*) в виде  .Последнее равенство перепишем в такой форме, чтобы были определены границы доверительного интервала для неизвестной величины D:  .Отсюда легко получить формулу, по которой находится доверительный интервал для стандартного отклонения:  (****)Задача. Будем считать, что шум в кабинах вертолетов одного и того же типа при работающих в определенном режиме двигателях — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Было случайным образом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума (в децибеллах) в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5. Найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума в кабинах вертолетов данного типа с надежностью 98%. Решение. По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности (1 – 0,98)/2 = 0,01 находим из таблицы распределения 2 величину 22 = 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,98)/2 = 0,99 получаем 12 = 7,63. Используя формулу (****), получаем искомый доверительный интервал: (3,44; 7,49). Задача. При изучении коммерческой деятельности торговой фирмы Lewis Products были получены величины xi суточного объема продаж в 20 случайно выбранных суток. Эти величины (в тыс. долларов США) представлены в таблице. 1. Найти несмещенные точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины – суточного объема продаж фирмы Lewis Products. Считая, что случайная величина имеет нормальное распределение, выполнить задания 2 – 5. 2. Найти интервальную оценку M при надежности 1, считая дисперсию известной и равной 02. 3. Найти интервальную оценку дисперсии D при надежности 2. Таблица.
|
Похожие:
 | - Экзаменационная оценка по предмету «Социология религии» складывается из оценки на экзамене по теоретической части, оценки за ответы... | | «утверждаю» Заведующий кафедрой гигиенических дисциплин ... |
 | Список документов и сведений, предоставляемых Оценщику для оценки... Выписка из списка основных средств предприятия по объектам оценки с указанием даты постановки на учет, первоначальная балансовая... | | Совершенствование методики оценки кредитоспособности Сбербанка России и её апробация Омых частей банковских активов – улучшению методики оценки кредитоспособности заёмщика. Подавляющее число банкротств кредитных организаций... |
 | Протокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе... ... | | Протокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе... Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №43 |
| Протокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе... Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №30 | | Протокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе... Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №30 |
| Протокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе... Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №30 | | Протокол оценки и сопоставления заявок на участие в открытом конкурсе... Место оценки и сопоставления заявок: 601010, Владимирская область, г. Киржач, ул. Серегина, 7, каб. №30 |