Анализ к ф. м н., доцент Рудой Евгений Михайлович 2013-2014 уч год

Скачать 80.95 Kb.

Название	Анализ к ф. м н., доцент Рудой Евгений Михайлович 2013-2014 уч год
Дата публикации	10.05.2014
Размер	80.95 Kb.
Тип	Лекция

litcey.ru > Математика > Лекция

Прикладной функциональный анализ

к.ф.-м.н., доцент Рудой Евгений Михайлович

2013-2014 уч. год

Лекция 1. (2 часа) Введение. Нормированные пространства. Компактные множества. Теорема Хана-Банаха.

Нормированные пространства. Сильная сходимость. Банаховы пространства. Компактные множества. Сопряженное пространство. Слабая сходимость. *-слабая сходимость. Теорема Алаоглу. Рефлексивные банаховы пространства. Теорема Хана-Банаха и следствия из нее. Выпуклые множества. Отделимость выпуклых множеств.
Лекция 2. (2 часа). Теоремы о неподвижных точках. Принцип сжимающих отображений. Пример применения принципа сжимающих отображений для решения нелинейных краевых задач: уравнение реакции-диффузии.

Неподвижная точка. Сжимающие отображения. Принцип сжимающих отображений (теорема Банаха) – существование и единственность неподвижной точки у сжимающего отображения. Различные вариации принципа сжимающих отображений. Пример применения принципа сжимающих отображений к нелинейным уравнениям механики сплошных сред: существование и единственность решения начально-краевой задачи для системы диффузии при наличии химической реакции.
^ Лекция 3. (2 часа). Теорема Брауэра. Доказательство вспомогательных лемм: Лемма 1, Лемма 2.

Теорема Брауэра о неподвижной точке непрерывного отображения замкнутого ограниченного выпуклого множества в пространстве Rⁿ в себя. Доказательство теоремы трудоемкое и для удобства восприятия разбивается на ряд вспомогательных лемм, из которых затем следует утверждение теоремы Брауэра. На первой лекции, посвященной доказательству данной теоремы, вводятся основные обозначения и доказываются две вспомогательные леммы – Лемма 1 и Лемма 2, связанные со свойствами гладких отображений из пространства Rⁿ в пространство R^m.
Лекция 4. (2 часа). Доказательство вспомогательных лемм: Лемма 3 (существование неподвижной точки у гладкого отображения замкнутого шара в себя), Лемма 4 (об аппроксимации), Лемма 5 (существование неподвижной точки у непрерывного отображения замкнутого шара в себя).

На второй лекции, посвященной доказательству теоремы Брауэра о неподвижной точке, доказываются еще три вспомогательные леммы. В лемме 3 доказывается, что всякое гладкое отображение замкнутого единичного шара в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку. В лемме 4 показывается, что любое непрерывное отображение замкнутого единичного шара в себя можно аппроксимировать по норме пространства непрерывных функций с любой точность гладкой функцией, отображающей замкнутый единичный шар в себя. Основываясь на лемме 4 и лемме 5, доказывается, что любое непрерывное отображение замкнутого единичного шара в себя имеет неподвижную точку (Лемма 5).
Лекция 5. (2 часа). Доказательство вспомогательных лемм: Лемма 6 (свойства функционала Минковского), Лемма 7 (существование гомеоморфизма замкнутого шара на замкнутое ограниченное выпуклое множество, имеющее внутренние точки).

Функционал Минковского. Изучаются основные свойства функционала Минковского для выпуклых множеств, имеющих внутренние точки (Лемма 6): положительная определенность, положительная однородность, полуаддитивность, непрерывность и др. Затем, используя доказанные свойства, показывается, что для любого замкнутого, ограниченного, выпуклого множества Ω, имеющего внутренние точки, существует гомеоморфизм пространства Rⁿ на себя такой, что Ω отображается взаимно однозначно на замкнутый единичный шар (Лемма 7).

^ Лекция 6. (2 часа). Доказательство теоремы Брауэра. Следствия из нее: принцип несуществования ретракции и лемма об остром угле. Приложение теоремы Брауэра.

На этой лекции завершается доказательство теоремы Брауэра. Сначала теорема Брауэра доказывается для выпуклых, замкнутых, ограниченных множеств, имеющих внутренние точки. Затем, используя вспомогательную Лемму 8 (о существовании подпространства, в котором любое выпуклое замкнутое ограниченное множество будет иметь внутренние точки), доказывается теорема Брауэра в общем виде. Кроме того, на этой лекции доказываются два утверждения (принцип несуществования ретракции и лемма об остром угле), которые эквивалентны теореме Брауэра. Наконец, в качестве иллюстрации применения теоремы Брауэра доказывается, что любая матрица с положительными элементами имеет единственный собственный вектор с положительными элементами, который отвечает максимальному положительному собственному числу данной матрицы.
^ Лекция 7. (2 часа). Нелинейный проектор Шаудера. Теорема Шаудера.

Теорема Шаудера – обобщение теоремы Брауэра на бесконечномерный случай нормированных пространств. Пример того, что в бесконечномерном нормированном пространстве теорема Брауэра в общем случае не верна. Вводится понятие операторов Шаудера (нелинейных проекторов), которые аппроксимируют нелинейные вполне непрерывные операторы. Изучаются свойства операторов Шаудера. Используя оператор Шаудера и теорему Брауэра, доказывается теорема Шаудера – теорема о существовании неподвижной точки у вполне непрерывного отображения замкнутого ограниченного выпуклого множества банахова пространства в себя.

^ Лекция 8. (2 часа). Следствия из теоремы Шаудера. Теорема Шефера. Пример применения теоремы Шефера: существование решения квазилинейного эллиптического уравнения.

Доказываются теоремы о неподвижных точках, вытекающие из теоремы Шаудера – теорема Тихонова-Шаудера, теорема Шефера. В качестве иллюстрации применения теорем о неподвижных точках в бесконечномерных пространствах доказывается, что краевая задача для квазилинейного эллиптического уравнения имеет решение.

Лекция 9-10. (4 часа). Метод монотонности для операторных уравнений. Пример применения метода монотонности: существование решения квазилинейного уравнения с частными производными в дивергентной форме.

Монотонные операторы. Хеминепрерывные операторы. Теорема о разрешимости нелинейного операторного уравнения (метод монотонности). Структура множества решений операторного уравнения. Достаточные условия единственности решения операторного уравнения. Теорема о существовании решения краевой задачи для квазилинейного уравнения с частными производными в дивергентной форме.
Лекция 11. (2 часа). Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах. Производные Гато и Фреше. Связь между ними. Теорема о дифференцируемости сложной функции.

Производные Гато и Фреше. Их основные свойства. Связь между ними. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Примеры.
^ Лекция 12. (2 часа). Теорема о среднем и ее следствия. Частные производные. Теорема о полном дифференциале.

Теорема Лагранжа для функций одной переменной. Пример того, что для функций многих переменных формула Лагранжа неверна в общем случае. Обобщение формулы Лагранжа на произвольные нормированные пространства. Понятие частной производной для функций, определенных на нормированных пространствах. Теорема о полном дифференциале.
^ Лекция 13. (2 часа). Теорема о неявной функции.

На лекции доказываются теорема о существовании непрерывной неявной функции и теорема о существовании частной производной у неявной функции.
^ Лекция 14. (2 часа). Элементы выпуклого анализа. Выпуклые функции. Непрерывность выпуклых функций. Полунепрерывные снизу функции.

Выпуклые функции (функционалы), действующие из нормированного пространства в расширенную числовую прямую. Свойства выпуклых функций. Эффективное множество функции. Собственные функционалы. Надграфик. Теорема об эквивалентности выпуклости функции и выпуклости ее надграфика. Непрерывность выпуклых функций. Полунепрерывные снизу функции и их свойства. Слабо полунепрерывные снизу функции. Слабая замкнутость выпуклого замкнутого множества.
^ Лекция 15. (2 часа). Минимизация выпуклых функционалов. Необходимые условия экстремума.

Точка минимума функционала. Теорема о существовании минимума у выпуклого полунепрерывного снизу функционала на ограниченном замкнутом выпуклом множестве. Коэрцитивные функционалы. Теорема о существовании минимума у выпуклого полунепрерывного снизу коэрцитивного функционала на замкнутом выпуклом множестве. Необходимое условие существования локального минимума у дифференцируемого по Гато функционала. Необходимое условие существование минимума на выпуклом множестве у дифференцируемого по Гато функционала.
Лекция 16. (2 часа). Достаточные условия экстремума. Пример задачи на нахождение минимума выпуклого функционала: задача о равновесии мембраны, содержащей жесткое включение.

Критерий слабой полунепрерывности снизу дифференцируемого по Гато функционала. Критерий выпуклости дифференцируемого по Гато функционала. Достаточное условие существования минимума у дифференцируемого по Гато функционала на выпуклом множестве. Задача о равновесии мембраны, содержащей жесткое включение: вариационная постановка задачи, доказательство существования и единственности решения, вывод дифференциальных уравнений и краевых условий.
Лекция 17-18. (4 часа). Вариационные неравенства. Некоторые сведения из теории пространств Соболева. Задача о равновесии упругого тела с трещиной, на берегах которой заданы условия одностороннего ограничения.

Задачи, приводящие к вариационным неравенствам. Связь между задачами минимизации функционалов и вариационными неравенствами. Некоторые сведении из теории пространств Соболева: определение, следы функций на границе, пространства Соболева с дробным показателем, обобщенная формула Грина. Примеры задач, поставленных в виде вариационных неравенств: равновесие упругой мембраны, контактирующей с жестким штампом; равновесие упругой мембраны, имеющей трещину, на которой задано условие одностороннего ограничений (модельное условие непроникания берегов трещины).
^ Примерный перечень вопросов к экзамену.

Принцип сжимающих отображений.
Пример применения принципа сжимающих отображений для решения нелинейных краевых задач – уравнения реакции-диффузии.
Теорема Брауэра: вспомогательные леммы (Лемма 1, Лемма 2).
Терема Брауэра: Существование неподвижной точки у гладкого отображения шара в себя (Лемма 3).
Теорема Брауэра: Существование неподвижной точки у непрерывного отображения шара в себя (Лемма 4, Лемма 5).
Функционал Минковского и его свойства (Лемма 6).
Теорема Брауэра: Существование неподвижной точки у непрерывного отображения замкнутого выпуклого множества, имеющего внутренние точки, на себя (Лемма 7, Теорема Брауэра).
Теорема Брауэра: Существование неподвижной точки у непрерывного отображения замкнутого выпуклого множества на себя (Лемма 8, Теорема Брауэра).
Следствия из теоремы Брауэра: Принцип несуществования ретракции. Теорема об остром угле.
Операторы Шаудера и их свойства.
Теорема Шаудера.
Теорема Шефера.
Пример применения теоремы Шефера - существование решения квазилинейного эллиптического уравнения.
Метод монотонности для операторных уравнений: Теорема существования.
Метод монотонности для операторных уравнений: Свойства множества решений. Теоремы единственности.
Пример применения метода монотонности – существование решения квазилинейного уравнения с частными производными в дивергентной форме.
Производные по Фреше и по Гато. Связь между ними.
Теорема о дифференцируемости сложной функции.
Теорема о среднем и ее следствия.
Теорема о неявной функции.
Выпуклые функции.
Полунепрерывные снизу функции.
Минимизация выпуклых функционалов
Минимизация выпуклых функционалов: необходимые условия экстремума.
Минимизация выпуклых функционалов: достаточные условия экстремума.
Вариационные неравенства. Задача о равновесии упругого тела с трещиной, на берегах которой заданы условия одностороннего ограничения.

Основной список литературы

Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.
Треногин В.А. Функциональный анализ.
Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.
Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.
Эванс Л.-К. Уравнения с частными производными.

	Курс: 2 группа: 201 05. 01. 2013 суббота 09: 00 экзамен Электромагнетизм... Теория функций комплексной переменной мл науч сотрудник Попова Е. П. 5-47 физфак		План работы на 2013-2014 учебный год Анализ работы Детского сада «Ивушка» за 2012-2013 год Автономное учреждение дошкольного образования муниципального образования Заводоуковский городской округ «Детский сад «Ивушка»
	План работы совета старшеклассников на 2013/2014 учебный год Собрание «Итоги 2012/2013 уч года. Составление и утверждение плана работы на 2013/2014 учебный год»1		План работы шмо учителей математики, физики и информатики на 2013-2014 учебный год Об итогах работы методического объединения за 2012-2013 учебный год и совершенствовании информационно-методического обеспечения образовательного...
	«город Бугуруслан» за 2013-2014 учебный год Бугуруслан Закончился очередной учебный год. Анализ его результатов показывает, что получилось из задуманного, какие из проблем остались нерешенными,...		Приказ № от. 2013 г. Расписание непосредственно образовательной деятельности... Расписание непосредственной образовательной деятельности мбдоу д/с «Рябинушка» на 2013-2014 ученый год
	Приказ от 08 октября 2013 года №360 лс «О комплектовании в структурном... Зачислить на 2013 -2014 учебный год в сп «Детский сад «Журавушка»» детей в соответствии со списками по группам		Рабочая программа по русскому языку для 8 А,8 б классов на 2013-2014 учебный год «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в образовательных...
	План работы школьной библиотеки мбоу сош п. Петровский на 2013/2014 учебный год Анализ использования и очистка учебного фонда от устаревших по содержанию учебных изданий		План работы школьной библиотеки на 2013 2014 учебный год. Основные... Содействие всеми формами и методами воспитанию всесторонне-развитой личности, создание максимально благоприятных условий для ее умственного,...

Анализ к ф. м н., доцент Рудой Евгений Михайлович 2013-2014 уч год

Похожие: