Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для учащихся 10 11 классов

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 5» – «Школа здоровья и развития» Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для учащихся 10 – 11 классов Составлена учителем математики высшей квалификационной категории Семёновой Е.Ю. 2010 год ВВЕДЕНИЕ Изучение многих физических процессов и геометрических за­кономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров. Задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ по матема­тике и очень часто оказываются не по силам обучающимся. Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в, общении с параметрами. Появление таких задач на экзамене далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элемен­тарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений (без чего решение задач с параметрами невозможно) и уровень логического мышления учащихся. Необходимость введения элективного курса «Решение уравне­ний и неравенств с параметрами» обусловлена тем, что практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от школы и достаточ­но велика разница между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз, особенно вуз высокого уровня. В процессе решения задач с параметрами приобретаются определенные умения исследовательской работы. Цель курса – научить учащихся методам решения задач с параметрами, помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками парамет­ра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величи­ной известной, а с другой - конкретное значение параметра неиз­вестно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – может принимать различные значения. Получается, что параметр - неизвестная известная, переменная постоянная величина. ^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения математики и подготовки учащихся к продолжению образования. Предлагаемый элективный курс «Решение уравнений и не­равенств с параметрами» составлен на основе авторской программы Д.Ф.Айвазяна с одноименным названием и является предметно-ориенти­рованным и предназначен на два года обучения для реализации в 10-11 классах общеобразовательной школы для расширения теоретических и практический знаний учащихся. Решение уравнений, содержа­щих параметры,  один из труднейших разделов школьного кур­са. Запланированный данной программой для усвоения учащи­мися объем знаний необходим для овладения ими методами ре­шения некоторых классов заданий с параметрами, для обобще­ния теоретических знаний. В процессе решения задач с параметрами приобретаются определенные умения исследовательской работы. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга. Так же необходимо хорошо знать свойства функций и выделять те, которые нужно применять в конкретном случае. Целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов их решения, а также формирование логического мышления и мате­матической культуры у школьников. Курс имеет общеобразова­тельное значение, способствует развитию логического мышле­ния учащихся. Программа данного элективного курса ориенти­рована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана образовательного учреждения. Изу­чение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия. В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с па­раметрами, знать некоторые методы решения заданий с парамет­рами (по определению, по свойствам функций, графически и т. д.) Данный курс представляется особенно актуальным и совре­менным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений. Данный курс имеет существенное образовательное значение для изучения алгебры. Задачи курса: овладение системой знаний об уравнениях с параметром как о семействе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей; овладение аналитическим и графическими способами решения задач с параметром; приобретение исследовательских навыков в решении задач с параметрами; формированию логического мышления учащихся; вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу; подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ и поступлению в ВУЗы. Содержание курса предполагает работу с различными ис­точниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную рабо­ту учащихся. Данный курс рассчитан на 40 часов (по 20 часов в 10 и 11 классах) и содержит следую­щие основные разделы: Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое зна­комство с уравнениями, содержащими параметр. Линейные уравнения, неравенства и их системы. Квадратные уравнения и неравенства. Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами. Решение различных видов уравнений и неравенств с па­раметрами. Задачи программы: познакомиться с понятиями «параметр», «уравнение с параметром», «неравенство с параметром», «система уравнений с параметром», «система неравенств с параметром». различать условия параметрических задач; научиться решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с параметром аналитическим и графическим способами; научиться математически грамотно оформлять решение задач с параметром. Ожидаемые результаты Учащийся должен знать: понятие параметра; что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и неравенств с параметром; основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром (линейных и квадратных); алгоритмы решений задач с параметрами; зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем; свойства функций в задачах с параметрами. Учащийся должен уметь: определять вид уравнения (неравенства) с параметром; выполнять равносильные преобразования; применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром; осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его; использовать в решении задач с параметром свойства основных функций; выбирать и записывать ответ; решать линейные, квадратные уравнения и неравенства; несложные иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним параметром при всех значениях параметра. Учащийся должен владеть: анализом и самоконтролем; исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы. Изучение данного курса дает учащимся возможность: повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики; освоить основные приемы решения задач; овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи; познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач; повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности; познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов; усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами; применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр; проводить полное обоснование при решении задач с параметрами; овладеть исследовательской деятельностью. Формы работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная. Методы работы: исследовательский и частично-поисковый. Виды деятельности на занятиях: лекция, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером. При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы: принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь; принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы; принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач; принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках. принцип последовательного нарастания сложности. ^ СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром. Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром. Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения ли­нейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов а и b. Решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Решение уравнений с параметрами, приводимых к линейным. Линейные неравенства с параметрами. Решение линейных неравенств с параметрами. Классификация систем линейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовме­стные). Понятие системы с параметрами. Алгоритм решения систем линейных уравнений с параметрами. Параметр и количе­ство решений системы линейных уравнений. ^ Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства. Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритми­ческое предписание решения Квадратных уравнений с парамет­ром. Решение квадратных уравнений с параметрами. Зависи­мость, количества корней уравнения от коэффициента а и дис­криминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Реше­ние квадратных уравнений с параметрами при наличии допол­нительных условий к корням уравнения. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все ре­шения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квад­ратных неравенств с параметром второго типа. ^ Тема 3. Аналитические и геометрические приемы реше­ния задач с параметрами. Использование графических иллюстраций в задачах с пара­метрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений. Метод решения относи­тельно параметра. Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром. ^ Тема 4. Решение различных видов уравнений и нера­венств с параметрами. Решение тригонометрических уравнений, неравенств с па­раметром. Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений, неравенств с параметром. ^ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОДЕРЖАНИЮ И ПРОВЕДЕНИЮ ЗАНЯТИЙ Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром. Элективный курс целесообразно начать с вводного (органи­зационного) занятия, где учитель знакомит учащихся с содержа­нием и структурой курса, объемом и видом самостоятельных работ, а также формой итоговой работы, которую они выполнят в конце изучения курса. На первом занятии рекомендуется предложить учащимся темы и обсудить их для выступлений на практических занятиях. Во второй части вводного занятия рекомендуется перейти к раскрытию понятий уравнения с параметром как семейства урав­нений, равносильности уравнений, понятия уравнения с парамет­ром, рассмотреть примеры задач, приводящих к уравнению с па­раметром и решения некоторых уравнений с параметром. ^ Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром. При изучении темы на уроке дается понятие линейных урав­нений с параметром, рассматриваются три случая зависимости количества корней от значения коэффициентов а и b. Здесь же необходимо начать решение уравнений с параметрами при на­личии дополнительных условий к корням уравнения. На последующих уроках необходимо рассмотреть понятие линейных неравенств с параметрами, на практическом занятии необходимо повторить свойства линейных неравенств и исполь­зовать их при решении линейных неравенств с параметрами. Ввести классификацию систем линейных уравнений по ко­личеству решений (неопределенные, однозначные), дать поня­тие системы с параметрами и алгоритм решения систем линей­ных уравнений с параметрами. ^ Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства. Данная тема – самая главная и основная тема курса, именно здесь отводится больше часов для изучения, на уроках необхо­димо ввести понятие квадратного уравнения с параметром, об­ратив внимание на неравенство нулю коэффициента а, рассмот­реть зависимость корней уравнения от коэффициента а и дис­криминанта, записать алгоритм решения квадратных уравнений с параметром. На практическом занятии целесообразно рас­смотреть решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. В содержании данной темы раскрываются теоретические сведения о нахождении корней квадратного трехчлена в зависи­мости от значений параметров. Учащиеся должны представлять, как может проходить график параболы в том или ином случае. ^ Тема 3. Аналитические и геометрические приемы и ме­тоды решения задач с параметрами. На этих уроках нужно рассмотреть различные приемы и методы решения уравнений с параметрами. Учащиеся должны понимать, что красота и краткость решения зачастую зависят от выбора пути решения задания. Необходимо подчеркнуть, какие именно задачи удобнее всего решать графическим методом. ^ Тема 4. Решение различных видов уравнений и нера­венств с параметрами. Обобщение и систематизация знаний учащихся в ходе решения задач различного типа. Эти уроки предполагается проводить в виде практикумов. ^ КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ № уро­ка Тема урока Кол-во часов Элементы содержания Фор­мы контроля (измерите­ли) Дата (неделя) 10 кл. 11 кл. 10 кл. 11 кл. 10 кл. 11 кл. Введение (1 час) 1 Понятие уравнения с параметрами 1 Понятие уравнений с параметрами Первое знакомство с уравнениями с параметром Практикум 1 ^ Линейные уравнения, их системы и неравен­ства с параметрами (12 часов) 2 Решение линейных уравнений с параметрами 1 Линейные уравнения с параметром Алгоритм решения ли­нейных уравнений с параметром Тест 1 3 Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнений 1 Зависимость количества корней от значения коэффициен­тов а и b Решение линейных уравнений с параметрами Решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения Самостоятельная работа 2 4 1 Решение уравнений, приводимых к линейным 1 1 Решение уравнений, приводимых к линейным Практикум 2 1 5 Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами 1 Классификация систем линейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовместные) Практикум 3 6 2 Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами 1 1 Понятие системы линейных уравнений с параметрами Алгоритм решения системы линейных уравнений с параметрами Параметр и количество решений системы линейных уравнений Самостоятельная работа 3 1 7 Решение линейных неравенств с параметра­ми 1 Линейные неравенства с параметрами Практикум 4 8 3 Решение линейных неравенств с параметра­ми с помощью графической интерпретации 1 1 Решение линейных неравенств с параметра­ми Практикум 4 2 9 4 Решение линейных неравенств, содержащих параметры 1 1 Самостоятельная работа 5 2 ^ Квадратные уравнения и неравенства (12 часов) 10 Решение квадратных уравнений с параметра­ми 1 Понятие квадратного уравнения с параметром. Решение квадратных уравнений с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения») Практикум 5 11 Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами 1 Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки Тест 6 12 5 Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным 1 1 Решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения Практикум 6 3 13 6 Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра 1 1 Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям») Самостоятельная работа 7 3 14 Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений 1 Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции Практикум 7 15 Решение квадратных неравенств с параметрами 1 Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с параметром второго типа Практикум 8 16 7 Решение неравенств методом интервалов 1 1 Тест 8 4 17 8 Нахождение заданного количества решений уравнения или неравенства 1 1 Зависимость количества корней уравнения от коэффициента а и дискриминанта Самостоятельная работа 9 4 ^ Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами (10 часов) 18 Графический метод решения задач с параметрами 1 Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами Практикум 9 19 9 Графический метод решения задач с параметрами 1 1 Тест 10 5 10 Применение понятия «пучок прямых на плоскости» 1 Практикум 5 11 Использование симметрии аналитических выражений 1 Использование симметрии аналитических выражений Самостоятельная работа 6 12 Решение относительно параметра 1 Метод решения относительно параметра Практикум 6 20 13 Область определения помогает решать задачи с параметром 1 1 Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств Практикум 10 7 14 Использование метода оценок и экстремальных свойств функции 1 Практикум 7 15 Равносильность при решении задач с параметрами 1 Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром Тест 8 ^ Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами (5 часов) 16 Решение рациональных уравнений и неравенств с параметрами 1 Практикум 8 17 Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами 1 Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами Практикум 9 18 Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами 1 Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами Тест 9 19 Решение показательных уравнений и неравенств с параметрами 1 Показательные уравнения и неравенства с параметрами Практикум 10 20 Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами 1 Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Практикум 10

Похожие:

	Содержание занятий «Школы подготовки к егэ» Неравенство. Решение неравенств Решение неравенств. Решение систем тригонометрических уравнений		Программа элективного курса «Функции помогают уравнениям» для учащихся 10 11 классов Рф ю. В. Лепехина с одноименным названием и является предметно-ориенти­рованным и предназначен на два года обучения для реализации...
	Стандартные неравенства Решение неравенств (так же как и решение уравнений) обычно распадается на два шага – преобразование неравенства к одному из стандартных...		Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов.... Неравенства, содержащие неизвестное в знаменателе не приводить к целому виду. Привести к общему знаменателю
	Решение уравнений и систем уравнений (неравенств) Вычислительная мощь компьютера позволяет использовать его как средство автоматизации научной работы. Для решения сложных задач используют...		Программа элективного курса «Избранные задачи планиметрии» для учащихся 10 классов Математические знания, представления о роли математики в современном мире стали необходимыми компонентами общей культуры. Элективные...
	Программа элективного курса «Избранные задачи стереометрии» для учащихся 11 классов Математические знания, представления о роли математики в современном мире стали необходимыми компонентами общей культуры. Элективные...		Программа элективного курса «Методы решения задач по физике» 1 (10-11 классы, 68 часов) Курс рассчитан на учащихся 10—11 классов профиль­ной школы и предполагает совершенствование подготов­ки школьников по освоению основных...
	Программа элективного курса по химии для учащихся 8-го класса по...		Программа курса по выбору «Избранные вопросы математики» для учащихся 8 9 классов Программа курса по выбору «Избранные вопросы математики» рассчитана на два года обучения. Предназначена она для предпрофильной подготовки...