Решение неравенств с двумя переменными




Скачать 119.57 Kb.
НазваниеРешение неравенств с двумя переменными
Дата публикации27.02.2013
Размер119.57 Kb.
ТипРешение
litcey.ru > Математика > Решение
Решение неравенств с двумя переменными

Графическое решение неравенств

Неравенство с двумя переменными х и у f(x;y) > (х;у) можно записать в виде F(x;y)>0 (1), где f(x;y),(x;y), F(x;y) - многочлены с указанными переменными. Неравенства, содержащие неизвестные, могут быть и другого вида:

F(x;y) < 0,F(x;y) 0,F(x;.y) 0.

Решением неравенства (1) называется упорядоченная пара действительных чисел (х0; у0), обращающая это неравенство в верное числовое неравенство. Графически это соответствует заданию точки (х0; у0) координатной плоскости. Решить неравенство - значит, найти множество всех его решений. Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется областью его решений.

Неравенства называются равносильными, если они имеют одну и ту же область решений.

Полезно будет напомнить здесь одно простое
утверждение: график уравнения F(x;y) = y - f(x) = 0, где f(x) - многочлен, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x;y) меняет знак на противоположный.



Рис. 1cnh 62

Действительно, если взять любую точку (рис. 1), лежащую выше графика, то ее ордината будет больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на графике. То есть множество точек плоскости, расположенных выше графика, будет геометрическим изображением решения неравенства у > f(x), т.е. F(x;y) > 0 . Для точек, лежащих ниже графика, имеет место неравенство F(x;y) < 0.

Аналогично можно сформулировать утверждение для графика уравнения F(y,x) = х – (у) = 0, где (у) - многочлен.

Многочлен можно заменить на элементарную функцию. Например, для выражений F(x;y) = y - log2x и F(x;y) = y - (k>0) на рисунках 2 и 3 соответственно представлены решения неравенства F(x;y) 0.



Рис. 2



Рис. 3

Указанные утверждения удобно использовать, если в неравенстве удается выразить переменную у (или х) в явном виде, то есть уединить эту переменную в одной из частей неравенства.

Области знакопостоянства линейного многочлена F(x;y) =px + qy + r

Уравнение px + qy + r = 0, где p2+q2, задает прямую линию. Геометрической интерпретацией решения линейного неравенства с двумя переменными является следующая теорема.

Теорема 1. Прямая px + qy + r = 0, где p2+q2, разбивает координатную плоскость на две открытые полуплоскости так, что координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют неравенству рх + qy + r > 0, а другой - неравенству px + qy + r <0.

Исходя из теоремы 1, можно сформулировать свойство чередования знака для линейного многочлена Ф(х;у) = px + qy + r (p2+q2,):

при переходе через точку прямой px + qy + r = 0 из одной полуплоскости в другую знак значения многочлена Ф(х;у) меняется на противоположный.

  • Если прямые F1(x;y) = a1x + b1y + c1 = 0 и F2(x;y) = a2x + b2y + c2 = 0 пересекаются, то каждая из систем неравенств

задает на координатной плоскости множество внутренних точек угла, включая границы. Например, совокупность соответствующая системе неравенств задает оставшуюся часть, исключая границы (координатную плоскость с «вырезанным» углом). Аналогичные утверждения верны и для других пар систем и совокупностей неравенств. Другими словами, в алгебре указанные совокупность и система неравенств являются логическими отрицаниями друг друга, а на координатной плоскости им соответствующие множества точек являются дополнениями друг друга до всей плоскости.

• Неравенство (a1x + b1y +c1)(a2x + b2y + c2) 0 (или (a1x + b1y +c1)(a2x + b2y + c2) 0), где ai2 + bi2 0 (i = 1; 2), задает на координатной плоскости множество внутренних точек вертикальных углов, включая границы.

Метод областей и его обобщения

• Рассмотрим выражение F(x;y)=F1(x;y) F2(x;y) × ... × Fn(x;y), (2)

где Fi (х; у) = pix + qiy + ri, причем прямые pix + qiy + ri =0 и pjx + qjy + rj =0 попарно различны (i = 1,2,...,n; у = 1,2,...,n; i

Выражению (2) соответствует разбиение плоскости на области прямыми линиями pix + qiy + ri =0 (i = 1,2,...,n). Точки пересечения прямых будем называть особыми точками границы области, другие точки -обыкновенными. Метод областей опирается на следующее свойство чередования знака выражения (2): при переходе через обыкновенную точку прямой pix + qiy + ri =0 (границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (2) меняется на противоположный.

Действительно, при переходе через прямую линию pix + qiy + ri =0 в выражении (2) меняет знак только один множитель pix + qiy + ri.

Пример . Решите графически неравенство (у + х)(х – у - 1)(х + 2)0.

Решение. На координатной плоскости хОу строим сплошными линиями график уравнения (у + х)(х – у - 1)(х + 2) = 0, состоящий из трех прямых у = -х, у = х - 1 и х = -2 (рис.4). Многочлену F(x; у) = (у + х)(х - у - 1)(х + 2) соответствует разбиение плоскости (х;у) на семь областей. Возьмем пробную точку (3;0) и определим знак значения выражения F(x;y) в этой точке: F(3;0) = 30; 30 > 0. Ставим знак плюс в области, содержащей точку (3;0). Далее, используя свойство чередования знака выражения F(x;y) вида (2), расставляем знаки в остальных областях. Нумерация областей на рисунке показывает последовательность их обхода (последовательность обхода может быть и другой). Выбираем области, содержащие знак плюс и решения уравнения F(x;y) = 0.



Рис. 4

• Пусть дано выражение вида F(x;y) =(x;y) (x;y) ...  (x;y) (3), где Fj{x;y) = pix + qiy + ri , причем прямые pix + qiy + ri =0 и pjx + qjy + rj =0 попарно различны (i = 1,2,...,n; у = 1,2,...,n; i k1,k2,...,kn - фиксированные натуральные числа и выражению F(x;y) соответствует разбиение плоскости на области.

Для решения неравенства (1), где выражение F(x; у) имеет вид (3), используется обобщенный метод областей, который опирается на следующее правило чередования знака выражения: при переходе через обыкновенную точку прямой pix + qiy + ri =0 (границы области) из одной области в смежную знак значения выражения (3) меняется на противоположный, если кi - нечетное число, и не меняется, если ki - четное число.

Области знакопостоянства многочленов F(x; у) второй степени

Рассмотрим кривые второго порядка: эллипс (в частности, окружность), гиперболу, параболу.

Теорема 2. Окружность (х - т)2 +(у - n)2 = R2 (с центром в точке А(т;n) и радиуса R > 0) делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне окружности, удовлетворяют неравенству (х - т)2 +(у - n)2 > R2,а расположенных внутри окружности неравенству (х - т)2 +(у - n)2 <R2.

Рис. 5

Теорема 3. Эллипс, заданный каноническим уравнением = 1, делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне эллипса, удовлетворяют неравенству а расположенных внутри эллипса - неравенству 1.

Для эллипса аналогично формулируется утверждение о знакочередовании значения выражения F(x; y) = .



Отсюда как следствие вытекает теорема 2.

Теорема 4. Гипербола ху - k = 0 (k 0) делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную выражение F(x;y) = ху - k меняет знак на противоположный.





Аналогичное свойство знакочередования формулируется для гиперболы (х - т)(у - n) - k = 0 (k 0)

Теорема 5. Гипербола, заданная каноническим уравнением = 1), делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную значение выражения F(x; y) = (F(x; y) = 1) меняет знак на противоположный.



Аналогичное свойство формулируется для гипербол и

Теорема 6. Парабола, заданная каноническим уравнением у2 = 2рх (р > 0 или р < 0), делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x;y) = у2 -2рх меняет знак на противоположный.

Аналогичное свойство формулируется для параболы (у - n)2 = 2р(х - т).



Области знакопостоянства выражений, содержащих знак модуля

Для решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля, обычно разбивают координатную плоскость на отдельные области так, чтобы на каждой из них можно было записать неравенство, не используя знака абсолютной величины.

В некоторых случаях удобно использовать известные области знакопостоянства выражений с модулями.

Теорема 7. Ромб, заданный уравнением = 1, где k > 0, l > 0, делит координатную плоскость на две части так, что координаты точек, лежащих вне ромба, удовлетворяют неравенству > 1, а расположенных внутри ромба - неравенству .

По аналогии с существующей терминологией «уравнение прямой в отрезках», уравнение = 1, где k > 0, l > 0, можно назвать «уравнением ромба в отрезках».



Теорема 8. Фигура, заданная уравнением , где k > 0, l > 0, делит координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной области в смежную значение выражения F(x; y) = меняет знак на противоположный.



Теорема 9. Фигура, заданная уравнением или k, делит координатную плоскость на две области так, что при переходе из одной области в другую значение выражения F(x; y) = меняет знак на противоположный.



Теорема 10. Неравенство a1x + b1y +c1÷ a2x + b2y + c2, где ai2 + bi2 0 (i = 1; 2), , задает на координатной плоскости множество внутренних точек угла, включая границы.



Теорема 11. Неравенство a1x + b1y +c1÷ a2x + b2y + c2, где ai2 + bi2 0 (i = 1; 2), , задает на координатной плоскости множество внутренних точек вертикальных углов, включая границы.



Теорема 12. Пара параллельных прямых, заданных уравнением разбивает координатную плоскость на три области так, что при переходе из одной плоскости в другую значение выражения F(x; y) = ax + by + c - m меняет знак на противоположный.

Конкретизируем данную теорему: неравенство задает на координатной плоскости множество внутренних точек «полосы», включая границы. В частности, «полоса» параллельна оси Ох, а «полоса» параллельна оси Оу.



Теорема 13. Неравенство a1x + b1y +c1÷ a2x + b2y + c2, где m ai2 + bi2 0 (i = 1; 2), , задает на координатной плоскости множество внутренних точек параллелограмма, включая границы.

Похожие:

Решение неравенств с двумя переменными iconРешение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов....
Неравенства, содержащие неизвестное в знаменателе не приводить к целому виду. Привести к общему знаменателю
Решение неравенств с двумя переменными iconСодержание занятий «Школы подготовки к егэ»
Неравенство. Решение неравенств Решение неравенств. Решение систем тригонометрических уравнений
Решение неравенств с двумя переменными iconСтандартные неравенства
Решение неравенств (так же как и решение уравнений) обычно распадается на два шага – преобразование неравенства к одному из стандартных...
Решение неравенств с двумя переменными icon§ 23. Центр линии второго порядка
Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка....
Решение неравенств с двумя переменными icon«Неравенства с одной переменной. Системы неравенств»
Для системы неравенств укажите номер рисунка, на котором изображено множество ее решений
Решение неравенств с двумя переменными icon«Неравенства с одной переменной. Системы неравенств»
Для системы неравенств укажите номер рисунка, на котором изображено множество ее решений
Решение неравенств с двумя переменными iconКраткое содержание предмета
Решение линейных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Решение неравенств с двумя переменными iconНазвание раздела, темы урока
Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Примеры решения дробно-линейных неравенств
Решение неравенств с двумя переменными iconРешение квадратных неравенств графическим способом
Рассмотрим функцию, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх, т к
Решение неравенств с двумя переменными icon«Действительные числа. Множества»
В случае неправильного решения – разобраться с ошибкой, выбросить листок с неправильным решением, написать решение всех неравенств...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница