Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр”




Скачать 76.02 Kb.
НазваниеЭкзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр”
Дата публикации03.04.2013
Размер76.02 Kb.
ТипЭкзаменационные вопросы
litcey.ru > Математика > Экзаменационные вопросы
Экзаменационные вопросы по курсу:

“Линейная алгебра, второй семестр”

Факультет ПМ.
§1. Теория определителей.

  1. Дать определение антисимметрической функции линейной по всем аргументам. Доказать теорему о свойствах функций класса ASL(m, n).

  2. Доказать теорему единственности для функций класса ASL. Вывести из нее, что при m

  3. Дать определение определителя порядка n. Доказать существование определителя, используя разложение по некоторой строке.

  4. Доказать свойство линейности определителя относительно строк.

  5. Доказать антисимметричность определителя относительно перестановки строк. Вывести отсюда, что определитель не меняется при транспонировании.

  6. Доказать теорему Коши об определителе произведения двух матриц.

  7. Доказать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.

  8. Вывести формулы Крамера для решения линейных систем.

  9. Дать определение базисного минора и ранга матрицы. Доказать теорему о базисном миноре.

  10. Доказать теорему Кронекера-Капелли.

  11. Доказать теорему о существовании нетривиального решения у однородной системы линейных уравнений, если число уравнений меньше числа неизвестных.

§2. Метод Гаусса.

  1. Дать определение эквивалентных матриц. Доказать, что всякая матрица эквивалентна ступенчатой.

  2. Доказать, что если матрицы A и B эквивалентны, то существует такая невырожденная квадратная матрица P, что B = PA.

  3. Доказать, что эквивалентные матрицы имеют одинаковые соотношения между столбцами. Вывести отсюда способ нахождения ранга матрицы.

  4. Доказать, что если матрица A эквивалентна главной ступенчатой матрице T, у которой столбцы с номерами j1,…, jr являются главными, то столбцы матрицы A с теми же номерами линейно независимы и .

  5. Рассказать о способе решения линейных систем методом Гаусса.

  6. Обосновать метод Гаусса нахождения обратной матрицы.

§3. Векторные пространства.

  1. Дать аксиоматическое определение векторного пространства над полем k. Привести примеры. Доказать единственность нулевого и противоположного векторов. Вывести формулы 0u = 0, 0 = 0, (-1)u = -u.

  2. Дать определение подпространства и доказать признак подпространства. Привести примеры.

  3. Дать определение линейно зависимых и независимых систем векторов. Доказать, что если подсистема системы T линейно зависима, то и вся система T зависима.

  4. Дать определение базиса векторного пространства. Доказать, что система e =(e1,…, en) является базисом U тогда и только тогда, когда она линейно независима и e1,…, en = U. Дать определение координат вектора в данном базисе. Доказать формулы: (x + y)e = xe + ye; (x)e = xe.

  5. Доказать, что если базис U состоит из n векторов, а система T из N>n векторов, то эта система линейно зависима. Дать определение размерности векторного пространства.

  6. Доказать, что если пространство U конечномерно и V  U – его подпространство, то dim(U) > dim(V).

  7. Для любых конечномерных подпространств V1 и V2 доказать справедливость формулы: dim(V1 + V2) + dim(V1V2) = dim(V1) + dim(V2). Дать определение прямой суммы подпространств.

  8. Обосновать способ построения фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений.

  9. Пусть e – базис векторного пространства размерности n и AMatnn. Доказать, что система векторов f = eA будет базисом тогда и только тогда, когда матрица A невырождена. Проверить, что xe = Axf.

§4. Линейные отображения.

  1. Дать определение линейного отображения  векторного пространства U в пространство V. Доказать, что (0) = 0. Построить пространство H(U, V) всех таких отображений. Дать определение композиции двух линейных отображений.

  2. Дать определение ядра и образа линейного отображения. Доказать условие инъективности линейного отображения.

  3. Доказать, что для линейного отображения : UV двух конечномерных пространств справедлива формула: dim(Ker()) + dim(Im()) = dim(U).

  4. Дать определение изоморфизма двух векторных пространств. Доказать, что всякие два конечномерные пространства одной размерности изоморфны между собой.

  5. Дать определение матрицы линейного отображения в данных базисах. Доказать формулу (u)f = (e)fue. Подсчитать матрицу композиции двух линейных отображений.

  6. Доказать, что пространство H(U, V) всех линейных отображений n-мерного пространства U в m-мерное пространство V изоморфно пространству матриц размера mn.

  7. Дать определение ранга линейного отображения. Доказать, что ранг отображения равен рангу матрицы этого отображения.

  8. Проверить, что если P – матрица перехода от базиса e к базису e, Q – матрица перехода от базиса f к базису f, A – матрица оператора в базисах e, f и A - матрица того же оператора в базисах e, f, то A = Q-1AP.

§5. Линейные операторы.

  1. Дать определение инвариантного подпространства относительно данного линейного оператора. Привести примеры.

  2. Дать определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора, характеристического многочлена. Доказать, что k будет собственным значением оператора  тогда и только тогда, когда p() = 0.

  3. Определить подпространство V() собственных векторов оператора, относящихся к собственному значению . Доказать, что сумма всех этих подпространств является прямой.

  4. Доказать, что размерность подпространства V() (геометрическая кратность числа ) не превосходит алгебраической кратности корня  у характеристического многочлена оператора.

  5. Доказать, что матрица линейного оператора в пространстве размерности n приводится в некотором базисе к диагональному виду тогда и только тогда, когда во-первых, характеристический многочлен имеет в поле k ровно n корней с учетом их кратностей и, во-вторых, геометрическая кратность каждого корня совпадает с его алгебраической кратностью.

§6. Евклидовы пространства.

  1. Сформулировать аксиомы скалярного произведения. Вывести из них свойства скалярного произведения по второму сомножителю. Привести примеры. Дать определение длины вектора и проверить, что |u| = |||u|.

  2. Доказать неравенство Коши-Буняковского.

  3. Доказать неравенство треугольника.

  4. Определить матрицу Грама Gr(H) системы векторов H. Проверить, что если H= HS, то det(Gr(H)) = |det(S)|2det(Gr(H)) и uv = uetGr(e)ve.

  5. Дать определение ортогональных векторов и угла между векторами в вещественном случае. Доказать, что ортогональная система векторов линейно зависима только тогда, когда она содержит нулевой вектор.

  6. Описать процесс ортогонализации. Доказать, что определитель матрицы Грама системы векторов всегда является неотрицательным вещественным числом. В каком случае этот определитель равен 0?

  7. Доказать, что конечномерное евклидово пространство всегда имеет ортонормированный базис. Получить выражение для скалярного произведения векторов в таком базисе и выразить координаты вектора через скалярное произведение.

  8. Доказать теорему Пифагора и неравенство Бесселя.

  9. Условия ортогональности вектора и подпространства; двух подпространств. Ортогональные суммы подпространств. Доказать, что ортогональная сумма является прямой.

  10. Дать определение ортогонального дополнения к подпространству. Доказать, что в конечномерном случае ортогональное дополнение существует и определено однозначно.

  11. Проекция вектора на подпространство. Теорема о свойствах проекции. Минимальное свойство проекции. Расстояние от вектора до подпространства.

  12. Вывести формулу для вычисления расстояния от вектора до подпространства.

  13. Вывести формулу для вычисления объема параллелепипеда.

  14. Рассказать о методе наименьших квадратов.

§7. Отображения и операторы в евклидовых пространствах.

  1. Дать определение сопряженных отображений евклидовых пространств. Доказать, что в конечномерном случае сопряженное отображение существует и определено однозначно. Подсчитать матрицу сопряженного отображения.

  2. Доказать, что в конечномерном случае отображение  инъективно тогда и только тогда, когда отображение * сюръективно.

  3. Проверить, что если  - линейный оператор и  - его собственное значение, то - собственное значение *. Доказать, что если VU – инвариантное подпространство для оператора , то V инвариантно относительно *.

  4. Дать определение самосопряженного оператора. Доказать, что все корни его характеристического многочлена вещественны.

  5. Доказать теорему о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.

  6. Дать определение нормы линейного оператора. Указать способ вычисления ||||.

  7. Дать определение изометрического оператора, ортогональной и унитарной матриц. Проверить, что ортогональное дополнение к инвариантному подпространству для такого оператора также будет инвариантным.

  8. Доказать теорему о каноническом виде унитарной матрицы.

§8. Функции на вещественных векторных пространствах.

  1. Дать определение линейной функции. Построить пространство L(U) всех таких функций на пространстве U. Определить строку m(e) коэффициентов линейной функции на базисе e и проверить, что m(u) = m(e)ue. Показать, что при переходе к новому базису f = eC строка меняется по правилу: m(f) = m(e)C.

  2. Для линейного отображения : UV построить отображение *: L(V)L(U) и проверить, что *(n) = n(h)(e)h.

  3. Дать определение билинейной функции b(x, y) на пространстве U. Построить пространство B(U) всех таких функций. Дать определение матрицы be билинейной функции в базисе e. Проверить формулы: b(x, y) = xetbeye; f = eC  bf = CtbeC.

  4. Доказать, что для конечномерного евклидова пространства U отображение : U L(U), определенное формулой (u)(x) = ux является изоморфизмом. Определить вектор Рисса v(m) линейной функции m и проверить, что v(*(m)) = *(v). Здесь : UV и * - сопряженное отображение.

  5. Доказать, что для конечномерного евклидова пространства U отображение : H(U)B(U), заданное формулой ()(x, y) = x(y) является изоморфизмом, переводящим самосопряженные операторы в симметрические билинейные функции.

  6. Дать определение квадратичной формы на векторном пространстве. Установить взаимно однозначное соответствие между квадратичными и симметрическими билинейными функциями. Дать определение матрицы квадратичной формы и вывести формулу q(x) = xetqexe.

  7. Доказать теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.

  8. Нормальный вид квадратичной формы. Ранг, индексы инерции и определитель.

  9. Доказать закон инерции квадратичных форм.

  10. Дать определение положительно определенной квадратичной формы. Доказать критерий Сильвестра.

Похожие:

Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные вопросы по курсу теория игр и исследование операций...
Доказать, что если функция K(X,y) непрерывна на X? Y (X, y компакты), то функция непрерывна на X
Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные вопросы по курсу линейной алгебры и аналитической...
Определение линейных операций с матрицами. Свойства линейных операций с матрицами
Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЛинейная алгебра

Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине «Русский язык»
Экзаменационные вопросы по дисциплине «Русский язык» для студентов 1 курса (2 семестр)
Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные вопросы по курсу
Соотношение институтов, форм и методов в государственном и муниципальном управлении
Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные вопросы по курсу
Сущность, роль и значение контроля и ревизии бюджетных и некоммерческих организаций
Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные вопросы для студентов по курсу «философия»
Мировоззрение как феномен духовной культуры общества. Исторические типы мировоззрения
Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные вопросы для студентов по курсу «философия»
Мировоззрение как феномен духовной культуры общества. Исторические типы мировоззрения
Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные билеты по курсу «Основы Механики Сплошной Среды»....
Поверхностный и массовый притоки тепла. Вектор потока тепла. Закон Фурье. Уравнение притока тепла для идеальной жидкости
Экзаменационные вопросы по курсу: “Линейная алгебра, второй семестр” iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Отечественная история»
Объективная необходимость «великих реформ». Отмена крепостного права и особенности аграрного развития страны
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница