Вопросы к экзамену «АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ» (ИС, УИТС-71, 72)
Определители. Определение и основные свойства.
Матрицы. Определение. Транспонирование. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.
Обратная матрица. Определение. Теорема об обратной матрице.
Ранг матрицы. Метод элементарных преобразований.
Система n линейных уравнений с n переменными. Основные понятия. Матричный способ решения системы.
Система n линейных уравнений с n переменными. Основные понятия. Теорема Крамера.
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса.
Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера - Капелли.
Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о количестве линейно независимых решений однородной системы.
Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы.
Линейные пространства. Определение и примеры. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Размерность линейного пространства. Базис.
Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами. Критерий коллинеарности векторов.
Теорема о базисе на плоскости R2.
Векторы. Основные понятия. Критерий компланарности векторов.
Векторы. Основные понятия. Теорема о разложении вектора в пространстве R3.
Декартова система координат. Декартова прямоугольная система координат. Линейные операции над векторами в ней.
Скалярное произведение векторов. Определение и выражение в координатной форме.
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Критерий перпендикулярности векторов.
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши - Буняковского - Шварца.
Векторное произведение векторов. Определение и выражение в координатной форме. Свойства векторного произведения.
Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Приложения векторного произведения.
Смешанное произведение векторов. Определение и выражение в координатной форме. Критерий равенства нулю смешанного произведения.
Уравнения прямой на плоскости с угловым коэффициентом, в каноническом виде, в параметрическом виде, в отрезках. Теорема о представлении прямой в декартовой системе координат на плоскости через уравнение первой степени.
Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми. Формула расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.
Плоскость в трехмерном евклидовом пространстве. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Условие параллельности и условие перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Прямая в трехмерном евклидовом пространстве. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между прямой и плоскостью.
Евклидовы пространства. Определение и примеры. Норма вектора, ее свойства.
Ортонормированная система векторов. Процесс ортогонализации Шмидта.
Матрицы перехода в n-мерном линейном пространстве. Преобразование координат при изменении базиса.
Матрицы Грама. Представление скалярного произведения векторов n-мерного евклидова пространства с помощью матриц Грама. Преобразование матрицы Грама при изменении базиса.
Ортогональные матрицы, их свойства.
Линейные операторы. Определение и примеры. Матрица линейного оператора. Теорема о связи образа и прообраза линейного оператора в n-мерном линейном пространстве.
Сумма линейных операторов. Определение и доказательство ее линейности. Представление в матричном виде.
Произведение линейных операторов. Определение и доказательство его линейности. Представление в матричном виде.
Преобразование, обратное линейному оператору. Определение и представление его в матричном виде. Ортогональные линейные преобразования, их свойства.
Матрицы подобия. Определение и теорема о них.
Характеристический многочлен. Определение и теорема о нем. Характеристическое уравнение и характеристические числа.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Определение и основные свойства.
Собственные векторы и собственные числа линейного оператора. Связь между характеристическими и собственными числами.
Симметрические матрицы. Теорема о собственных числах и собственных векторах действительной симметрической матрицы. Теорема о собственных векторах, соответствующих различным собственным значениям действительной симметрической матрицы.
Квадратичная форма. Основные понятия. Основные теоремы о квадратичных формах.
Квадратичная форма. Теорема о существовании ортогонального преобразования, приводящего действительную квадратичную форму к каноническому виду.
Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение его к каноническому виду. Эллипс. Гипербола. Парабола. Основные понятия.
Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Конус второго порядка. Эллиптический, гиперболический, параболический цилиндры. Вырожденные случаи.
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Определения и основные теоремы о них.
Сопряженные и самосопряженные линейные преобразования евклидова пространства. Определения и основные теоремы о них.
Группы. Определение и свойства. Примеры групп.
|
