Вопросы к экзамену по курсу "Математическая статистика" в группах У4-571, 641




Скачать 92.47 Kb.
НазваниеВопросы к экзамену по курсу "Математическая статистика" в группах У4-571, 641
Дата публикации05.05.2013
Размер92.47 Kb.
ТипВопросы к экзамену
litcey.ru > Математика > Вопросы к экзамену
Вопросы к экзамену

по курсу "Математическая статистика"

в группах У4-571, 641

2007/2008 уч.г.
Тема 1. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайные выборки данных


  1. Дискретная случайная величина. Таблица распределения вероятностей. Вычисление математического ожидания, дисперсии. Функция распределения вероятностей, свойства, пример построения.

  2. Непрерывная случайная величина. Интегральный и дифференциальный законы распределения вероятностей, свойства. Математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в произвольный заданный интервал, расчетная формула.

  3. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент асимметрии, эксцесс. Формулы расчёта, свойства. Квантиль, процентиль, медиана, квартиль распределения. Пример расчёта квантилей дискретных и непрерывных случайных величин.

  4. Понятие генеральной совокупности значений случайной величины. Случайная выборка. Свойства выборки, обычно предполагаемые в задачах математической статистики. Понятия вариационного и статистического ряда. Группировка выборочных значений. Группированный статистический ряд. Пример построения.

  5. Таблица частот. Гистограммы частот (относительных, абсолютных, локальных, накопленных). Демонстрация на примере следующей выборки данных при расположении 4-х классов на интервале [-14, 30]:

16 28 -4 -12 2.5 6 8 -2 5 11

  1. Таблица частот. Полигоны частот (относительных, абсолютных, локальных, накопленных). Демонстрация на примере следующей выборки данных при расположении 4-х классов на интервале [-14, 30]:

16 28 -4 -12 2.5 6 8 -2 5 11

  1. Экспериментальный закон распределения вероятностей. Определение, свойства. Способ построения. Иллюстрация на примере выборки, заданной следующим вариационным рядом:




xi

0.5

1.5

2

2.5

3.5

5

ni

1

2

3

2

1

1




  1. Описательные статистики для выборок данных: среднее значение, медиана, мода, дисперсия, стандартное отклонение, стандартная ошибка, коэффициент асимметрии, эксцесс. Расчетные формулы. Использование описательных статистик для оценки теоретических значений указанных характеристик наблюдаемой случайной величины. Понятие смещённости оценки.

  2. Выборочные процентили распределения вероятностей. Квартили выборки. Медиана выборки. Восстановление экспериментального закона распределения по значениям процентилей (с обоснованием процедуры). Числовой пример с использованием следующей выборки:

0.5 3 4.5 0.5 -2 3 3 0.5 -2 -4

  1. Описательные статистики для выборок данных: размах выборки, квартили, интерквартильный размах. Схема Box-and-Whisker. Назначение схемы. Принцип построения. Свойства выборки, представленные в схеме Box-and-Whisker. Построение схемы Box-and-Whisker для следующей выборки:

16 28 -4 -12 2.5 6 8 -2 5 11 34 42

  1. Точечные оценки числовых характеристик случайных величин. Оценки математического ожидания. Оценки дисперсии при известном и неизвестном математическом ожидании. Грубые оценки. Смещение оценки. Доказательство несмещённости среднего арифметического выборочных значений как оценки математического ожидания.

  2. Стандартизация случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и единица измерения стандартизованной случайной величины. Стандартизованный нормальный закон распределения вероятностей. Пример использования при проверке статистических гипотез. Стандартизация выборки наблюдений нормально распределённой случайной величины.


Тема 2. Основные законы

распределения вероятностей, используемые

в задачах математической статистики


  1. Биномиальное распределение вероятностей. Определение, параметры закона. Математическое ожидание, дисперсия. Иллюстрация свойств на рисунке (полигон вероятностей). Предельное свойство распределения при n→∞. Коэффициент асимметрии при p<0.5, p>0.5, p=0.5. Примеры случайных величин, распределённых по биномиальному закону.

  2. Нормальное распределение вероятностей. Определение, параметры закона. Мода, медиана, математическое ожидание, дисперсия, коэффициент асимметрии, эксцесс. Иллюстрация свойств нормального закона на графиках плотности распределения вероятностей при m=const и σ=1, 2, 4. Свойства нормально распределённой случайной величины. Распределение суммы независимых нормально распределённых случайных величин. Центральная предельная теорема (формулировка).

  3. Показательное (экспоненциальное) распределение вероятностей. Определение, область распределения, параметр закона. Математическое ожидание, медиана, дисперсия, коэффициент асимметрии (знак), эксцесс (знак). Построение графиков плотности и функции распределения вероятностей для показательных распределений с параметрами α=2, 6, 10.

  4. Закон распределения вероятностей . Определение, область распределения, параметр закона, геометрическая интерпретация. Вывод выражений для математического ожидания и дисперсии. Иллюстрация свойств на графиках плотности распределения вероятностей закона при n=2, 6, 10.

  5. Законы распределения Стьюдента и Фишера. Определение, области распределения, параметры законов. Иллюстрация свойств распределения Стьюдента на графиках плотности распределения при n=2, 10, 100, сравнение с плотностью стандартизованного нормального закона. Иллюстрация свойств распределения Фишера на графиках плотности распределения вероятностей при n1 = n2 = 3, 10, 30. Предельное свойство распределения Стьюдента.

  6. Статистики нормально распределённых случайных величин. Статистика . Вывод закона распределения. Использование статистики в качестве оценки математического ожидания при известной дисперсии. Несмещённость оценки. Предельные свойства оценки при . Стандартизация статистики .

  7. Статистики нормально распределённых случайных величин. Статистики и . Вывод законов распределения. Теорема Фишера (без доказательства). Использование статистик и в качестве оценок дисперсии при известном и неизвестном математическом ожидании.

  8. Статистики нормально распределённых случайных величин. Статистика T. Вывод закона распределения. Использование статистики T в качестве оценки стандартизованного математического ожидания при неизвестной дисперсии.

  9. Статистики нормально распределённых случайных величин. Статистики F0 и F. Вывод законов распределений. Закон распределения оценки отношения дисперсий при известных и неизвестных математических ожиданиях.

  10. Статистики нормально распределённых случайных величин. Статистика . Вывод закона распределения. Закон распределения оценки разности математических ожиданий при известных дисперсиях.

  11. Расчёт квантилей нормального распределения с помощью таблиц математической статистики. Функция Лапласа, её свойства. Формулы расчёта. Необходимость стандартизации распределений при использовании таблиц. Примеры расчёта квантилей.

  12. Расчёт квантилей распределений хи-квадрат, Стьюдента и Фишера с помощью таблиц математической статистики. Свойства квантилей распределений Стьюдента и Фишера. Использование приближённых формул для расчёта. Примеры расчёта квантилей.


Тема 3. Интервальные оценки


  1. Понятие доверительного интервала. Уровень значимости. Доверительная вероятность. Постановка задачи. Общий принцип построения доверительных интервалов. Статистики, используемые при построении доверительных интервалов. Использование доверительных интервалов для проверки статистических гипотез. Иллюстрация на примере.

  2. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределённой случайной величины при известной дисперсии. Статистика, используемая при построении доверительного интервала. Вывод выражений. Пример.

  3. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределённой случайной величины при неизвестной дисперсии. Статистика, используемая при построении доверительного интервала. Вывод выражений. Пример.

  4. Доверительный интервал для дисперсии нормально распределённой случайной величины при известном и неизвестном математическом ожидании. Статистики, используемые при построении доверительных интервалов. Вывод выражений. Пример.

  5. Доверительный интервал для разности математических ожиданий двух нормально распределённых случайных величин при известных дисперсиях. Статистика, используемая при построении доверительного интервала. Вывод выражений. Пример.

  6. Доверительный интервал для отношения дисперсий нормально распределённых случайных величин при известных и неизвестных математических ожиданиях. Статистики, используемые при построении доверительных интервалов. Вывод выражений. Пример.


Тема 4. Проверка статистических гипотез

о математических ожиданиях и дисперсиях случайных величин


  1. Понятие статистической гипотезы. Виды гипотез. Примеры (содержательные постановки задач и формулировки основной и альтернативной гипотез). Критерий проверки статистической гипотезы. Статистика критерия. Принцип построения, требования к свойствам статистики критерия, графическая иллюстрация.

  2. Проверка статистической гипотезы. Общая постановка задачи. Статистика критерия. Область допустимых значений и критическая область для статистики критерия. Уровень значимости. Типы критических областей, иллюстрация на рисунке. Уравнения для расчета критических точек.

  3. Решающее правило в задачах проверки статистических гипотез. Ошибки принятия статистического решения, определения и расчетные выражения. Примеры, графическая иллюстрация. Характеристика p-value.



  1. Статистическая гипотеза о математическом ожидании случайной величины при известной дисперсии. Содержательный пример. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборки, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

  2. Статистическая гипотеза о математическом ожидании случайной величины при неизвестной дисперсии. Содержательный пример. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборки, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

  3. Статистические гипотезы о дисперсии случайной величины при известном и неизвестном математическом ожидании. Содержательный пример. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборки, уровень значимости. Статистики критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

  4. Статистическая гипотеза о равенстве математических ожиданий случайных величин при известных дисперсиях. Содержательный пример. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборки, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

  5. Статистические гипотезы о равенстве дисперсий случайных величин при известных и неизвестных математических ожиданиях. Содержательный пример. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборки, уровень значимости. Статистики критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.


Тема 5. Критерии согласия

и проверки однородности выборок


  1. Критерий согласия Пирсона (критерий ). Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборок, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

  2. Критерий согласия Колмогорова. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборки, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

  3. Критерий знаков. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборки, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Предельные свойства закона при . Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.



  1. Модификация критерия согласия Пирсона (критерия ) для проверки статистической гипотезы об однородности двух выборок. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборок, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

  2. Модификация критерия Колмогорова для проверки статистической гипотезы об однородности двух выборок. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборок, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

  3. Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения вероятностей случайной величины на основе анализа коэффициента асимметрии и эксцесса. Постановка задачи: основная и альтернативная гипотезы, свойства выборок, уровень значимости. Статистика критерия: расчетная формула, область допустимых значений, критическая область, закон распределения вероятностей. Расчет критических точек. Решающее правило. Графическая иллюстрация.

Похожие:

Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconЭкзаменационные вопросы по разделу «Математическая статистика» дисциплины...

Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconЭкзаменационные вопросы по курсу "Математическая статистика"
...
Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Математическая статистика и случайные...
Свойства оценок максимального правдоподобия (случай одного оцениваемого параметра). [1], стр. 229-232
Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconКонтрольная работа №1 по курсу лекций «Математическая статистика»

Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconТема: Математическая статистика
Статистика это отрасль знаний, излагающая общие вопросы сбора и сопоставления массовых количественных данных, исследующая наблюдения,...
Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconВопросы к курсу «Математическая статистика», 2013, лектор М. В. Болдин
Статистическая модель. Теорема Гливенко-Кантелли и ее использование для обоснования метода подстановки. Иллюстрация метода подстановки...
Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconКонтрольная работа №11 Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов – 10-е издание, стереотипное – Москва: Высшая...
Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconЭкзаменационные вопросы по курсу "Математическая статистика"
Эмпирическая функция распределения; ее свойства как функции распределения и как оценки теоретической функции распределения
Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconРабочая программа дисциплины теория вероятностей и математическая статистика
Целью освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика является формирование у студентов научного представления...
Вопросы к экзамену по курсу \"Математическая статистика\" в группах У4-571, 641 iconВероятностные модели Вопросы
В. Ю. Королев. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд-во Проспект, 2006
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница