Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение




Скачать 261.89 Kb.
НазваниеТематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение
страница2/2
Дата публикации04.03.2013
Размер261.89 Kb.
ТипКонтрольные вопросы
litcey.ru > Математика > Контрольные вопросы
1   2


№ зад

Вариант 9

1


X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)


3

A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)


4




№ зад

Вариант 10

1


X=(4,-2,-1) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)


3

A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)


4





№ зад

Вариант 11

1


X=(4,-1,-1) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)


3

A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)


4




№ зад

Вариант 12

1


X=(-4,1,1) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4




№ зад

Вариант 13

1



X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)

2

A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)


3

A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)


4




№ зад

Вариант 14

1


X=(-5,-7,7) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)


3

A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)


4




№ зад

Вариант 15

1


X=(7,0,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)


3

A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)


4




№ зад

Вариант 16

1


X=(4,-2,6) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4





№ зад

Вариант 17

1


X=(4,5,2) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)


3

A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)


4




№ зад

Вариант 18

1


X=(-5,-2,11) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)


3

A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)


4




№ зад

Вариант 19

1


X=(1,3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4




№ зад

Вариант 20

1


X=(2,1,2) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)


3

A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)


4




№ зад

Вариант 21

1


X=(1,2,2) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)


3

A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)


4




№ зад

Вариант 22

1


X=(-5,-7,7) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)


3

A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)


4




№ зад

Вариант 23

1


X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4





№ зад

Вариант 24

1


X=(2,-1,3) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)


3

A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)


4




№ зад

Вариант 25

1


X=(4,1,3) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)


3

A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)


4





№ зад

Вариант 26

1


X=(-5,-7,7) P(3,1,0) Q(0,-2,1) R(-1,0,2)


2

A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)


3

A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)


4




№ зад

Вариант 27

1


X=(4,-3,4) P(1,1,0) Q(0,1,2) R(3,-1,1)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4





№ зад

Вариант 28

1


X=(-5,7-,7) P(0,1,-2) Q(3,0,1) R(-1,2,0)


2

A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)


3

A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)


4






№ зад

Вариант 29

1


X=(-3,4,4) P(1,0,2) Q(1,1,0) R(-1,3,1)


2

A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)


3

A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)


4




№ зад

Вариант 30

1


X=(-7,-5,7) P(0,-1,2) Q(-2,0,1) R(1,3,0)


2

A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)


3

A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)


4




№ зад

Вариант 31

1


X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4





№ зад

Вариант 32

1

X=(-5,-7,7) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4




№ зад

Вариант 33

1


X=(5,-3,9) P(3,-1,0) Q(0,-2,1) R(-1,0,-2)


2

A(3,5) B(4,-1) C(-4,2)


3

A(-2,1,5) B(-4,-3,0) C(0,2,-1) D(4,0,6)


4




4. Решение варианта 0 контрольной работы
Задача 1. Разложение вектора X=(1,7,1) по векторам P(-1,0,2), Q(0,-2,1,) R(3,1,0) имеет вид:

X=άP+βQ+γR

Распишем это векторное уравнение покоординатно, т.е. сначала приравняем абсциссы, затем ординаты, а потом аппликаты. В результате получим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными ά, β, γ:



  1. Решим систему (1) методом Крамера. Для этого подсчитаем 4 определителя: главный ∆ и 3 вспомогательных ∆ά, ∆β, ∆γ. Напомним, что главный определитель составляется из коэффициентов при неизвестных ά, β, γ. Вспомогательные определители формируются из главного заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов.

Главный определитель вычислим методом Лапласа с помощью разложения, например, по первой строке:



Аналогично вычисляются вспомогательные определители.







Неизвестные ά, β, γ находятся как отношения соответствующих вспомогательных определителей к главному:







  1. Решим систему (1) матричным методом. Очевидно, что

X=A-1B,

где A-1 – обратная матрица по отношению к матрице коэффициентов системы, B столбец свободных членов.

Найдем обратную матрицу по схеме:

A → A* → (A*)T → (A*)T/∆=A-1

где A исходная матрица,

A* - присоединенная матрица (состоящая из алгебраических дополнений каждого элемента исходной матрицы),

(A*)Tтранспонированная матрица относительно присоединенной матрицы A*,

- определитель матрицы А

Напомним, что для нахождения присоединенной матрицы необходимо отыскать алгебраические дополнения всех элементов исходной матрицы. Алгебраическое дополнение элемента матрицы – это определитель, получающийся вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Знак такого определителя меняется на противоположный, если сумма номеров строки и столбца нечетна.

Алгебраическим дополнением элемента (-1), находящегося на пересечении первой строки и первого столбца, является определитель



Алгебраическим дополнением элемента 0, находящегося на пересечении первой строки и второго столбца, является определитель



Знак определителя изменен на противоположный, так как 1+2=3 – нечетное число.

Аналогично отыскиваются алгебраические дополнения других элементов исходной матрицы.

Итак,



В результате транспонирования получаем



Определитель исходной матрицы был подсчитан ранее, а именно (см. формулу (2)), ∆=13. Таким образом,



Умножая справа на столбец свободных членов, находим



или ά=2, β=-3, γ=1.

Решим систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу



Пусть разрешающим элементом будет a23=1, а разрешающей строкой – вторая строка. С помощью выбранной второй строки элементарными преобразованиями исключим переменную γ, т.е. добьемся того, чтобы все элементы третьего столбца, кроме разрешающего, оказались равными 0. А именно, если к первой строке добавить вторую, умноженную на (-3), то получим



Пусть теперь разрешающим элементом будет a32=1, а разрешающей строкой – третья строка. С помощью выбранной третьей строки элементарными преобразованиями исключим переменную β, т.е. добьемся того, чтобы все элементы второго столбца, кроме разрешающего, оказались равными 0. А именно, если к первой строке добавить третью, умноженную на (-6), а ко второй – третью, умноженную на 2, то получим



Сократим все элементы первого столбца на (-13):



Выберем в качестве разрешающего элемент a11=1. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-4), а к третьей – первую, умноженную на (-2). После такого преобразования получаем



Отсюда снова получаем ά=2, β=-3, γ=1.

Итак, разложение вектора X=(1,7,1) по векторам P(-1,0,2), Q(0,-2,1,) R(3,1,0) имеет вид:

X=2P-3Q+R
Задача 2. Треугольник АВС задан своими вершинами

А(2,1), B(4,-3), C(-3,0).

  1. Найдем уравнение стороны АВ, для чего воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:



Подставляя координаты точек А и В, получаем уравнение:



Итак, каноническое уравнение прямой АВ имеет вид:



Приведем это уравнение к общему виду. По правилу пропорции получаем:

-4(x-2)=2(y-1). Раскрывая скобки, приходим к общему уравнению прямой АВ:

2x+y=5

Изолируем y и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=-2x+5

Аналогично находятся уравнения других сторон. Каноническое уравнение прямой ВС:



^ Общее уравнение прямой ВС:

3x+7y+9=0

Уравнение прямой ВС с угловым коэффициентом:



Каноническое уравнение прямой АС:



Общее уравнение прямой АС:

x-5y+3=0

Уравнение прямой АС с угловым коэффициентом:




  1. Найдем уравнение и длину высоты AD из точки А на сторону ВС. Из канонического уравнения стороны ВС получаем направляющий вектор

qВС=(-7, 3)

Этот вектор можно принять в качестве нормального вектора прямой AD:

nAD=(-7, 3)

Следовательно, уравнение прямой AD, проходящей через точку А и имеющей нормальный вектор nAD, имеет вид:

-7(x-2)+3(y-1)=0

Раскроем скобки и приведем к общему виду:

-7x+3y+11=0

Уравнение медианы AD в явной форме имеет вид:



Далее найдем координаты точки ^ D, для чего необходимо совместно решить уравнения прямой ВС и медианы AD:



Решим эту систему методом Гаусса (алгебраического сложения). Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3. После сложения этих уравнений переменная x исключается, что позволяет найти y. А именно,

y=-48/29

Теперь умножим первое уравнение на -3, а второе на 7. После сложения этих уравнений переменная y исключается, что позволяет найти x. А именно,

x=25/29

Проверим правильность решения системы линейных уравнений с помощью пакета символьных преобразований Maple:
> first:=-7*x+3*y=-11:

> second:=3*x+7*y=-9:

> sys:={first,second};



> solve(sys);


Итак, D(25/29, -48/29). Длину медианы AD находим по формуле расстояния между двумя точками:



  1. Для вычисления площади треугольника найдем длину стороны ВС:



Тогда площадь треугольника ABC равна



Задача 3. Тетраэдр АВСD задан своими вершинами

А(2,1 4), B(-2,1,0), C(0,-3,-5), D(1,0,-3).

1) Найдем уравнение грани ABC через смешанное произведение векторов AB, AC и AM, где М(x,y,z)произвольная точка грани:



Разлагая определитель по третьей строке, получаем

-16(x-2)-28(y-1)+16(z-4)=0

или

ABC: 4x+7y-4z+1=0

Аналогично находятся уравнения других граней.

2) Уравнение средней линии грани АВС будем искать в следующей последовательности: сначала вычислим координаты точек P, Qсередин сторон АВ и АС. А именно, по формулам



находим: P(0,1,2). По аналогичным формулам Q(1,-1,-0.5). Уравнение средней линии PQ запишем в канонической форме:



или



    1. Объем тетраэдра вычислим по формуле



где (AB,AC,AD)смешанное произведение этих трех векторов. Итак,


Задача 4. (самостоятельно)

Литература




^
Основная литература




  1. Бугров А.Г., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984

  2. Бугров А.Г., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980

  3. Бугров А.Г., Никольский С.М. Задачник. – М.: Наука, 1984

  4. Высшая математика для экономистов / под ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 1997

  5. Общий курс высшей математики для экономистов / под ред. проф. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2005

  6. Сборник задач по высшей математике для экономистов / под ред. проф. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2002

  7. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: ВШ, 2000

  8. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: ВШ, 2001


Дополнительная литература




  1. Баринов В.А., Няшин А.Ф., Слезко И.В., Татосов А.В. Краткий курс лекций, упражнения и задания по высшей математике. – Изд. ТюмГУ, 2001

  2. Воронов М.В., Мещеряков Г.П. Высшая математика для экономистов и менеджеров. – Ростов-на-Дону, ФЕНИКС, 2004

  3. Высшая математика. Общий курс / под ред. А.И.Яблонского. – Минск: ВШ, 1993

  4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985

  5. Гусак А.А. Высшая математика. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – т.1,2

  6. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. – Мн.: Выш.шк., 1988. – т.1,2

  7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: ВШ, 1986. - ч.1,2

  8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977

  9. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975

  10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978

  11. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: ВШ, 1982. – ч.1,2

  12. Карасев А.И. Калихман И.Л., Кремер Н.Ш. Матричная алгебра. – М.: ВЗФЭИ, 1987

  13. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 1997

  1. Кругликов В.И. Основные формулы и методы математического анализа. – Изд. ТюмГУ, 2003

  2. Кругликов В.И. Конспект лекций по математике. – Изд. ТюмГУ, 2003

  3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989

  1. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2000

  1. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. – М.: ВШ, 1986

  2. Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ. – М.: ВШ, 1990

  3. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – С.-П.: Спец. литература, 1996

  4. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: ВШ, 1987

  5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1988. – ч.1,2

  6. Сборник задач по высшей математике для втузов, ч.1,2 / под ред. проф. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. – М.: ВШ, 1985

  7. Справочник по математике для экономистов / под ред. проф.Ермакова В.И. – М.: Наука, 1986





1   2

Похожие:

Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconТематика первого семестра Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение
Операции над множествами. Множество действительных чисел. Диагональ Кантора. Множества на числовой прямой. Понятие отображения и...
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconТематика первого семестра Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение
Операции над множествами. Множество действительных чисел. Диагональ Кантора. Множества на числовой прямой. Понятие отображения и...
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconТематика первого семестра Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение
Вычисление определителей разложением по Лапласу. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения. Правило Крамера....
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconТематика первого семестра Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение
Вычисление определителей разложением по Лапласу. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения. Правило Крамера....
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconМетодические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине «ценообразование»
Методические указания предназначены для студентов специальности «Финансы и кредит» заочной формы обучения. Представлены следующие...
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconВарианты заданий для выполнения контрольной работы по дисциплине...
Имеются следующие данные о стоимости коттеджей, предлагаемых к продаже в Подмосковье (данные условные)
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconВарианты заданий для выполнения контрольной работы по дисциплине...
Имеются следующие данные о стоимости коттеджей, предлагаемых к продаже в Подмосковье (данные условные)
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconЛитература Учебно-методический комплекс представляет собой пособие...
«Зарубежный опыт государственного и муниципального управления» Он включает: рабочую программу учебной дисциплины, методические рекомендации...
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconМетодические указания и контрольные задания для студентов-заочников...
В методических указаниях приведены рекомендации по изучению программного материала, вопросы для самоконтроля, задания на контрольные...
Тематика дисциплины Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение iconВарианты заданий для выполнения контрольной работы по дисциплине...
Дата погашения дисконтного векселя 05. 07 текущего года. Какова его выкупная цена на 23. 02 текущего года? Номинал векселя – 1 млн...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница