Скачать 98.28 Kb.
|
О преобразовании Фурье однородных обобщенных функций и об их использовании при построении алгоритмов компьютерной томографии. Настоящий раздел подготовлен на основании работ: Трофимов О.Е. О преобразовании Фурье одного класса обобщенных однородных функций. // Сибирский журнал индустриальной математики, 2004, том 7, N 1, стр. 30-34. O.E. Trofimov Use Fourier Transform in the Distribution Sense for Creation Numerical Algorithms for Cone-beam Tomography доклад на конференции The 14th European Conference on Mathematics for Industry (ECMI 2006) will be held at the UNIVERSITY CARLOS III DE MADRID, on July 10th to 14th. Сайт конференции http://congrega.fund.uc3m.es/ecmi2006/ Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() при ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() Доказательство. Введем функции ![]() ![]() если ![]() ![]() Переходя к сферическим координатам, получаем: ![]() Учитывая, что ![]() ![]() Интеграл по ![]() ![]() В [1] показано, что при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() при ![]() и ![]() при ![]() Подставляя выражения (5) и (6) в (4) вместо интеграла по ![]() Случай ![]() ![]() Для полноты изложения приведем здесь ряд положений работы [6]. Пусть заданы функция f(x) = f(x1, x2, x3) , точка S = (s1, s2, s3) и вектор = (1, 2, 3), лучевым преобразованием функции f(x) будем называть функцию ![]() являющуюся интегралом от f(x) вдоль луча, исходящего из точки S в направлении вектора . Наряду с функцией ![]() ![]() являющаяся интегралом по всей прямой или, что тоже самое, суммой интегралов вдоль лучей из точки z в направлениях и -. С математической точки зрения задача томографической реконструкции в конусе лучей заключается в нахождении функции f(x) по функции ![]() Пусть задана кривая, по которой движется источник, Ф() = (Ф1(), Ф2(), Ф3()), параметр пробегает некоторый интервал ![]() ![]() ![]() Функция g(,) есть интеграл от функции f(x) вдоль луча, проходящего через точку Ф() в направлении вектора . Отметим, что при любом фиксированном функция ![]() ![]() В работе [7] получена следующая формула обращения лучевого преобразования: ![]() При фиксированном функция G+(,) есть преобразование Фурье от функции ![]() ![]() ![]() Если носитель лежит в единичном шаре, то примером кривой, удовлетворяющей условиям Кириллова-Туя, является совокупность двух единичных окружностей, имеющих центрами начало координат (0,0,0) и лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, например, Z=0 и Y=0 . Для цилиндрических объектов можно использовать винтовую линию. Построение численных алгоритмов непосредственно на основании формулы (8), полученной в [7], затруднительно [4]. Дело в том, что в (8) преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций [1], а преобразование Фурье от функции ![]() ![]() не существует, так как ![]() ![]() Для того, чтобы использовать формулы типа (8) для построения алгоритмов, необходимо показать, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следуя [6], перейдем к получению соответствующих формул. Из доказанной выше теоремы получаем следующее Утверждение. Пусть ![]() ![]() ![]() В задачах томографии функции f(x) действительны и в формуле (4) нужна только мнимая часть ![]() ![]() здесь ![]() ![]() Используя формулу (9) и ![]() ![]() Введем обозначения. Пусть на единичной сфере заданы функция ![]() ![]() Через ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Через ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Через ![]() ![]() ![]() Если функция ![]() ![]() Следствие ![]() Здесь S() = { S2(, ) = 0}, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляя в (8) зависящее от параметра выражение для функции ![]() ![]() ![]() Здесь S() – окружность, являющаяся пересечением единичной сферы и плоскости P(). Плоскость P() проходит через начало координат и ортогональна вектору . Как уже говорилось выше, символ () означает интегрирование по окружности. Оператор L(, D) означает дифференцирование функции ![]() ![]() при этом , зависящее от и x, остается фиксированным. Как и выше, = (, ) = (coscos, cossin, sin), = (, ) = (x, ) такое, что скалярное произведение (x, ) равно ![]() ![]() В формуле (7) используются регулярные функции, и она пригодна для построения численных алгоритмов. Формула обращения лучевого преобразования для пространств произвольной размерности получена также в [2]. Выше были использованы обобщенные функции, являющиеся линейными, непрерывными функционалами на пространстве функций, имеющих производные всех порядков. При построении численных алгоритмов, основанных на формулах обращения, содержащих обобщенные функции, более естественно использовать определение обобщенной функции, данное в [5]. Там в качестве основных рассматриваются функции, имеющие конечное число производных. Поясним сказанное на примере обобщенной функции ![]() ![]() Для сходимости правой части в формуле (8) нет необходимости, чтобы функция ![]() ![]() - простотой построения аппроксимации, чем больше производных, тем более громоздка аппроксимация и выше вычислительные затраты; - во многих реальных ситуациях необходимо исследовать функции, имеющие разрывы, например, полости в однородных объектах, использование не очень гладких аппроксимаций дает большие возможности для исследования таких объектов. Более подробно об этом сказано в [3], там же приведены результаты компьютерного моделирования томографической реконструкции в конусе лучей. Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 03-01-00910 и 03-07-90060). Литература
3. Lavrentiev M.M., Zerkal S.M., Trofimov O.E. Computer Modelling in Tomography and Ill-Posed Problems, VSP (The Netherlands), 2001, 128 pp.
однородных функций. // Сибирский журнал индустриальной математики, 2004, том 7, N 1, стр. 30-34.
Аннотация Получены соотношения, позволяющие выразить преобразование Фурье однородных функций через их значения на единичной сфере. Предполагается, что ![]() ![]() ![]() Трофимов Олег Евгеньевич Институт автоматики и электрометрии СО РАН, 630090, Новосибирск, пр. академика Коптюга 1, E-mail: Trofimov@iae.nsk.su Тел. (3832) 343243 |
![]() | Доклад на 23-й отчетно-выборной конференции ... | ![]() | Доклад на конференции в Анкаре Я хотел бы предложить Вашему вниманию доклад о практике применения российскими судами законодательства, регулирующего перевозки по... |
![]() | Доклад прочитан на богословской конференции рпц «Международные Рождественские... Доклад прочитан на богословской конференции рпц «Международные Рождественские образовательные Чтения» 26 января – 31 января 2003... | ![]() | Августовской конференции педагогов лысьвенского муниципального района Доу, представители общественных организаций. Заслушав и обсудив доклад начальника управления образования «Об итогах 2009-2010 учебного... |
![]() | Доклад на 19-й российской научной конференции по холодной трансмутации... Доклад на 19-й российской научной конференции по холодной трансмутации ядер атомов. Берег Черного моря, спортивно – оздоровительный... | ![]() | Доклад на 19-й российской научной конференции по холодной трансмутации... Доклад на 19-й российской научной конференции по холодной трансмутации ядер атомов. Берег Черного моря, спортивно – оздоровительный... |
![]() | Доклад на конференции "Православное богословие на пороге третьего... | ![]() | - Доклад на научно-практической конференции ндпр по проблеме «Геноцид Русского народа в XX-XXI веках» 20. 02. 2005 |
![]() | Доктор физико-математических наук Доклад на 4 международной конференции «Народная медицина России — Прошлое, Настоящее. Будущее» | ![]() | Краткий очерк идей Доклад, представленный на Всероссийской научно-практической конференции регинформ- 99, 6 апреля 1999 г., Пермь: ппгу |