Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике)




НазваниеЭлементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике)
страница1/6
Дата публикации02.06.2013
Размер0.57 Mb.
ТипДокументы
litcey.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5   6

МАТЕМАТИКА


    1. Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике).



  • Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x ,

где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3 .




  • ^ Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.



  • ^ Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k / x , где k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.



Основные характеристики и свойства гиперболы:

  • - область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;

  • - функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не

  • монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? );

  • - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

  • - нулей функция не имеет.

  • Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.



График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:



Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.


Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

  • - область определения функции: - < x < + ( т.e. x R ), а область

  • значений: … ( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );

  • - функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

  • ведёт себя, как монотонная;

  • - функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

  • и непериодическая;

  • - при D < 0 не имеет нулей. ( А что при D 0 ? ) .

  • Степенная функция. Это функция: y = axn, где a , n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рис.13 ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:





Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.



При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем ). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

  • ^ Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.



Основные характеристики и свойства показательной функции:

  • - область определения функции: - < x < + ( т.e. x R );

  • область значений: y > 0 ;

  • - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

  • - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

  • - нулей функция не имеет.

  • Логарифмическая функция. Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.


Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

  • - область определения функции: x > 0, а область значений: - < y < +

  • ( т.e. y R );

  • - это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

  • - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

  • - у функции есть один ноль: x = 1.




  • Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.



График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2.



Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

  • - область определения: - < x < + ; область значений: -1 y +1;

  • - эти функции периодические: их период 2 ;

  • - функции ограниченные ( | y | 1 ), всюду непрерывные, не монотонные, но

  • имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они

  • ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 );

  • - функции имеют бесчисленное множество нулей ( подробнее см. раздел

  • «Тригонометрические уравнения» ).


Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22



Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период ), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности ( какие? ), разрывные ( какие точки разрыва имеют эти функции? ). Область определения и область значений этих функций:




  • Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.



Функции y = Arcsin x ( рис.23 ) и y = Arccos x ( рис.24 ) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x +1 и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные, не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

  • - у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1 ; их области значений: -/2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arcos x;

  • - функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

  • ( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );

  • - каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и x = 1 у функции y = arccos x).



Функции y = Arctan x ( рис.25 ) и y = Arccot x ( рис.26 ) - многозначные, неограниченные функции; их область определения: - x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

  • - у обеих функций одна и та же область определения: - x + ; их области значений: -/2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;

  • - функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

  • ( y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );

  • - только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 ); функция y = arccot x нулей не имеет.




    1. Предел и непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства пределов. Способы раскрытия неопределенностей. Замечательные пределы и эквивалентности. Приложение пределов в экономике.

Lim[n->] y[n]=b. Опр-е: число b наз-ся пределом последовательности y[1],y[2],…,y[n],…, если абсолютная величина разности y[n]-b, начиная с некоторого номера N, остается меньшей любого заранее данного полож-го числа : |y[n]-b|<, при n>=N (N зависит от ).

lim[x->a] f(x)=b число b наз-ся пределом функции f(x) при x->a, если по мере того как x приближается к a будь то с права или слева, - значение f(x) неограниченно приближается к b. f(x) в точке a м.б неопр-на. Опр-е: число b есть предел ф-ии f(x) при x->a, если величина |f(x)-b| сколь угодно мала, при достаточной малости величины |x-a|.

^ Свойства пределов.

  1. Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов, т.е.

  2. Предел произведения равен произведению пределов:

  3. Постоянную величину можно выносить за знак предела:

  4. Предел частного равен частному пределов делимого и делителя, если предел делителя не равен нулю:

  5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же степени предела той же переменной:

Виды неопределенности и некоторые способы их раскрытия.

Часто при решении примеров на нахождение пределов функций получаются выражения вида: Выражения такого вида называются неопределенностями, а процесс нахождения предела таких выражений — раскрытием неопределенности. Существуют стандартные методы для раскрытия неопределенностей каждого вида. Поясним это на примерах.

Решение примеров на нахождение пределов функций начинается с выяснения вопроса: есть неопределенность или ее нет. Если ее нет, то в функцию вместо переменной х подставляют предел, к которому х стремится, производят соответствующие алгебраические действия, результат которых и будет решением примера.

Например, найти

Решение: Подставив х = –2 в выражение получим неопределенность вида Раскрытие неопределенности достигается разложением числителя на сомножители (как разность квадратов): (х – 2)(х + 2), с последующим сокращением на х – 2. Сомножитель (х – 2), содержащий неопределенность, уходит, и мы можем теперь подставить вместо х его предел и получить решение примера, т.е.



    1. Понятие производной и дифференциала. Геометрический и физический смысл производной. Таблица производных. Основные правила нахождения производных. Применение производных в экономических расчетах.

  1. Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом



Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:

1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f(x+D x) -f(x);

2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а D x 0, находим

,

который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу. Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,

, или

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение



при D x0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.
  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) iconВопросы для государственного экзамена по специальности вопросы по математике
Элементарные функции, их графики, свойства. Приложения функций (например, в экономике)
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) iconЗаконы больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева и связанные с ней обобщения
Элементарные функции, их графики, свойства. Приложения функций (например, в экономике)
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) iconСодержание программы 10 класс (136 ч) Числовые функции
Формулы приведения. Функция у = sin Х, ее свойства и график. Функция у = cos Х, ее свойства и график. Периодичность функций у =...
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) icon«Функции, их свойства и графики»
Функция, график которой изображен на рисунке, задана на отрезке [-4; 9]. Укажите ее наименьшее значение
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) icon«Функции, их свойства и графики»
Функция, график которой изображен на рисунке, задана на отрезке [-4; 9]. Укажите ее наименьшее значение
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) iconТематика первого семестра Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение
Операции над множествами. Множество действительных чисел. Диагональ Кантора. Множества на числовой прямой. Понятие отображения и...
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) iconТематика первого семестра Контрольные вопросы Варианты контрольных заданий Решение
Операции над множествами. Множество действительных чисел. Диагональ Кантора. Множества на числовой прямой. Понятие отображения и...
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) iconКонспект лекций Математические методы и модели в экономике
Например, отношения между продавцом и покупателем, поставщиком и потребителем, банком и вкладчиком и т д. Такие конфликтные ситуации...
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) iconМетодические указания по подготовке к экзамену для студентов заочной формы обучения зэ11
Операции над множествами. Множество действительных чисел. Диагональ Кантора. Множества на числовой прямой. Понятие отображения и...
Элементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике) icon«Исследование функции на четность»
Повторить определение функции. Ввести понятие симметричного множества, определения четной и нечетной функции. Рассмотреть свойства...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница