Скачать 67.87 Kb.
|
Доклады Академии наук СССР 1959. Том 124, № 3 А.Н. Тихонов, А.А. Самарский О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов Многие разностные схемы, применяемые для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и сходящиеся в классе гладких коэффициентов, являются расходящимися в случае разрывных коэффициентов. Цель настоящей статьи - установить необходимые условия сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов для уравнения ![]() а также дать общую характеристику класса нормальных [1] схем, удовлетворяющих необходимому условию сходимости. п.1. Рассмотрим класс дифференциальных операторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() п. 2. Будем называть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если условие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() п. 3. Перейдем к изучению вопроса о сходимости в ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим погрешность схемы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Для ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() п. 4. Рассмотрим отрезок ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и предположим, что коэффициенты ![]() ![]() I. Существуют такие m>0 и M>0, что ![]() II. Существует такое b>0, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() III. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() Лемма 1. Если, для уравнения (*) выполнены условия I, II, III и существует некоторая последовательность решений ![]() ![]() ![]() ![]() Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1 и, кроме того: 1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() п. 5. Обозначая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично, подставляя в (6) выражения (3) и (4) для ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() п. 6. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пользуясь функцией ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично находим ![]() ![]() Необходимое условие сходимости ( ![]() ![]() ![]() Нашей задачей является предельный переход при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В дальнейшем мы будем опираться на следующую теорему П. Л. Чебышева [4]: Если a - количество несоизмеримое, то найдется бесконечное множество таких целых чисел x,y , при которых выражение ![]() ![]() ![]() Из теоремы Чебышева следует, что для иррационального ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отметим, что: а) если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() п. 7. Потребуем теперь, чтобы наша нормальная схема ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда следует, что условию сходимости ( ![]() квазиконсервативная схема ![]() ![]() ![]() Лемма 3. На любой последовательности разностных сеток ![]() ![]() ![]() Отсюда следует, что найденной нами схеме эквивалентна консервативная схема, для которой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() п. 8. Рассматривая сходимость для однородного уравнения и пользуясь следующим определением сходимости: разностная схема ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 1. Если нормальная разностная схема ![]() ![]() Теорема 2. Для всякой сходящейся в ![]() ![]() . Математический институт им. В. А. Стеклова Поступило Академии наук СССР 13.Х.1958 Литература
|
![]() | Доклады Академии наук СССР. Том 122, №4, 1958 В статье [1] была поставлена задача об отыскании разностных схем, пригодных для единообразного решения дифференциальных уравнений... | ![]() | Устав пущинского научного центра Российской академии наук (ранее именовался – Научный центр биологических исследований ан СССР в г. Пущино) образован распоряжением... |
![]() | Доклады академии Наук СССР. 1935, т. 1(VI), в. 5 Мы предлагаем здесь исследование вопроса о единственности решений для уравнения теплопроводности | ![]() | Доклады Академии Наук СССР. 1935. Том IV (1Х), №4-5 (73-74) А. Н. Тихонов... Показания прибора дают нам, вообще говоря, действительную величину измененного поля, а не ту, которая нас должна интересовать, т... |
![]() | Доклады Академии наук СССР 1956. Том 108, №3 Так, например, желательно, чтобы одна и та же разностная схема позволяла решать задачи для дифференциальных уравнений как в случае... | ![]() | Доклады Академии наук СССР В данной заметке приводится пример, показывающий, что эта гипотеза неверна, если в качестве класса переменных коэффициентов брать... |
![]() | Строительная теплотехника Госстроя СССР с участием нииэс и цниипромзданий Гостроя ссср, цнииэп жилища Госгражданстроя, цнииэпсельстроя Госагропрома ссср, миси... | ![]() | М. Е. Салтыков-Щедрин. Собрание сочинений в двадцати томах. Том первый Издание осуществляется совместно с Институтом русской литературы (Пушкинский дом) Академии наук СССР |
![]() | И. Д. Амусин // Временник пушкинской комиссии/Акад наук ссср, Ин-т... Амусин, И. Д. Пушкин и Тацит/И. Д. Амусин // Временник пушкинской комиссии/Акад наук ссср, Ин-т литературы; Отв ред. Д. П. Якубович.... | ![]() | А. Г. Гиндоян, канд техн наук Разработаны гипрохолодом Минторга СССР (В. В. Васютович, Г. А. Карганов), цниипромзданий Госстроя СССР (д-р техн наук А. Г. Гиндоян,... |