Исследование функций




Скачать 304.13 Kb.
НазваниеИсследование функций
страница1/4
Дата публикации06.06.2013
Размер304.13 Kb.
ТипИсследование
litcey.ru > Математика > Исследование
  1   2   3   4

1

Содержание:
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Уравнение касательной и нормали к кривой.

Односторонние производные функции в точке.

Основные правила дифференцирования.

Производные основных функций.

Производная сложной функции.

Логарифмическое дифференцирование.

Производная показательно – степенной функции.

Производная обратной функции.

Дифференциал функции.

Геометрический смысл дифференциала.

Свойства дифференциала.

Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.

^ Формула Тейлора.

Формула Лагранжа.

Формула Маклорена.

Представление функций по формуле Тейлора.

Бином Ньютона.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Теоремы о среднем.

Теорема Ролля.

Теорема Лагранжа.

Теорема Коши.

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Производная и дифференциалы высших порядков.

Правила нахождения производных.

Исследование функций.

Возрастание и убывание функций.

Точки экстремума.

Критические точки.

Достаточные условия экстремума.

Исследование функций с помощью производных высших порядков.

Выпуклость и вогнутость кривой.

^ Точки перегиба.

Асимптоты.

Схема исследования функций.

Векторная функция скалярного аргумента.

Уравнение касательной к кривой.

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.

Уравнение нормальной плоскости.

Параметрическое задание функции.

Производная функции, заданной параметрически.
^

Дифференциальное исчисление функции


одной переменной.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

у

f(x)


f(x0 +x) P

f

f(x0) M

  x

0 x0 x0 + x x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.




,
где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.




Уравнение касательной к кривой:




Уравнение нормали к кривой: .
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.


^ Односторонние производные функции в точке.
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.


Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.
^ Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u v) = u v

2) (uv) = uv + uv

3), если v  0
Эти правила доказываются на основе теорем о пределах.




^ Производные основных элементарных функций.
1)С = 0; 9)

2)(xm) = mxm-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)



Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда
Логарифмическое дифференцирование.




Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных и показательно-степенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.




^ Производная показательно- степенной функции.
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:





Пример. Найти производную функции .
По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:


Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.


т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

^ Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:



Тогда можно записать: , где 0, при х0. Следовательно: .

Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f(x)x или




dy = f(x)dx.
Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.
y

f(x)

K

dy

M y

L



x x + x x

Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
^ Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:


  1. d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv

  2. d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

  3. d(Cu) = Cdu



Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция.




Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х - независимая переменная, то

dx = x, но

если х зависит от t, то х  dx.

Таким образом, форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
Пример. Найти производную функции.
Сначала преобразуем данную функцию:


Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции


^ Формула Тейлора. Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х  а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:







  • это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:





называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).
y Как видно на рисунке, в

точке х = а значение мно-

f(x) Rn+1(x) гочлена в точности совпа-

дает со значением функции.

Pn(x) Однако, при удалении от точ-

ки х = а расхождение значе- ний увеличивается.

0 a x x

Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка (a, x), то найдется такое число  из интервала 0 <  < 1, что  = a + (x – a).

Тогда можно записать:



Тогда, если принять a = x0, x – a = x, x = x0 + x, формулу Тейлора можно записать в виде:


где 0 <  < 1
Если принять n =0, получим: f(x0 + x) – f(x0) = f(x0 + x)x – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).

Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
^ Формула Маклорена.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:







Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е.
.

Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.
^ Представление некоторых элементарных функций

по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.


Функция f(x) = ex.
Находим: f(x) = ex, f(0) = 1

f(x) = ex, f(0) = 1

……………………

f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1




Тогда:

Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.


Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.
^ Функция f(x) = sinx.
Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0

f(x) = cosx = sin( x + /2); f(0) = 1;

f(x) = -sinx = sin(x + 2/2); f(0) = 0;

f(x) = -cosx = sin(x + 3/2); f(0)=-1;

…………………………………………

f(n)(x) = sin(x + n/2); f(n)(0) = sin(n/2);

f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)/2); f(n+1)() = sin( + (n + 1)/2);




Итого:

^ Функция f(x) = cosx.
Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:






^ Функция f(x) = (1 + x).
( - действительное число)




…………………………………………………..


Тогда:




Если в полученной формуле принять  = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда





Получилась формула, известная как бином Ньютона.

Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.


  1   2   3   4

Похожие:

Исследование функций iconИсследование функций тема исследование функций
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб для вузов: в 3т. 5-е изд.,стер. М.: Дрофа. (Высшее образование. Современный...
Исследование функций iconИсследование функций
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения
Исследование функций iconМетодические указания по подготовке к экзамену для студентов заочной формы обучения зэ11
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Исследование функций iconУчебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения...
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Исследование функций iconУчебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения...
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Исследование функций icon«Исследование функции на четность»
Повторить определение функции. Ввести понятие симметричного множества, определения четной и нечетной функции. Рассмотреть свойства...
Исследование функций iconФункции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т к все полученные результаты...
Исследование функций iconИсследование наилучших приближений непрерывных периодических функций...
Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных...
Исследование функций iconИсследование наилучших приближений непрерывных периодических функций...
Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных...
Исследование функций iconИсследование функций с помощью производной
Теорема. 1) Если функция f(X) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница