Исследование функций
Скачать 304.13 Kb.
|
^ Рис. 1. Два члена разложения Рис. 2. Четыре члена разложения ^  Рис. 4. Десять членов разложения Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется. Для примера вычислим значение sin200. Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = /9. Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:  В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420. Выше говорилось, что при х0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx x. Пример: Вычислить sin2801315. Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями: 10 =  ; 280 ;1  ;  ; ;  ; радЕсли при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: sinx =  .Сравнивая полученный результат с более точным значением синуса этого угла, sin  = 0,472869017612759812,видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач. ^ Получаем: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0; f(x) =  ;      ………………………………………   Итого:     Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003. ln1,5 = 0,405465108108164381  Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно. Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов. ^ Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой  Тогда абсолютная погрешность  Относительная погрешность  Более подробно применение дифференциала к приближенным вычислениям будет описано ниже. При использовании компьютерной версии “^ ” возможно запустить программу, которая производит разложение любой функции в ряды Тейлора и Маклорена, а также вычисляет значение функции в заданной точке, выводит погрешность вычислений. ^ Теорема Ролля. (Ролль (1652-1719)- французский математик) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка , a < < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, f() = 0. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки. Теорема Ролля имеет несколько следствий:
f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что f() = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
^ (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка a < < b, такая, что  .Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке. Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Отношение  равно угловому коэффициенту секущей АВ. уВ А 0 а b x Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.  Определение. Выражение  называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем. Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:  ,где 0 < < 1, x = b – a, y = f(b) – f(a). ^ ( Коши (1789-1857)- французский математик) Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g(x) 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что   .Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке . Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже. ^ Правило Лопиталя. (Лопиталь (1661-1704) – французский математик) К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:  Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.  Пример: Найти предел  .Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида  . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.f(x) = 2x +  ; g(x) = ex;  ;Пример: Найти предел  . ;  ;  .Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. Пример: Найти предел  . ;  ; ;  ;  ;  ;  Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.). Пример: Найти предел  . ;  ;  - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.  ;  ;  - применяем правило Лопиталя еще раз.  ;  ;  ;Неопределенности вида  можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида  , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).Пример: Найти предел  .Здесь y = xx, lny = xlnx. Тогда  . Следовательно  Пример: Найти предел  . ;  - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз. ;  ;^ Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную  Если найти производную функции f(x), получим |
Похожие:
 | Исследование функций тема исследование функций Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб для вузов: в 3т. 5-е изд.,стер. М.: Дрофа. (Высшее образование. Современный... | | Исследование функций Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения |
| Методические указания по подготовке к экзамену для студентов заочной формы обучения зэ11 Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование... | | Учебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения... Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование... |
| Учебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения... Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование... |  | «Исследование функции на четность» Повторить определение функции. Ввести понятие симметричного множества, определения четной и нечетной функции. Рассмотреть свойства... |
| Функции нескольких переменных При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т к все полученные результаты... |  | Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций... Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных... |
| Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций... Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных... | | Исследование функций с помощью производной Теорема. 1) Если функция f(X) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке... |