Исследование функций




Скачать 304.13 Kb.
НазваниеИсследование функций
страница4/4
Дата публикации06.06.2013
Размер304.13 Kb.
ТипИсследование
litcey.ru > Математика > Исследование
1   2   3   4
примеров исследования методами дифференциального исчисления различных типов функций.
Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-; ).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;





Итого: у = -х – наклонная асимптота.

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у 0 при любом х  0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.
y = 0 при х =0 и y =  при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y(1-h) < 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h) < 0 для любого h > 0.
6. Построим график функции.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.





Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.

; y = 0 при х = 2, у =  при х = 0.

y > 0 при х  (-, 0) – функция возрастает,

y < 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

у > 0 при х  (2, ) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

> 0 при любом х  0, следовательно, функция, вогнутая на всей области определения.
6. Построим график функции.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.


  1. Областью определения данной функции является промежуток х  (-, ).

  2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

  3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

  1. Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

- наклонных асимптот не существует.


  1. Находим точки экстремума.



Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1

 4x3 – 4x2 4x2 – 5x + 1

- 5x2 + 6x

 - 5x2 + 5x

x - 1

 x - 1

0

Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:


Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.


Систематизируем полученную информацию в таблице:





(- ; ¼)

1/4

( ¼ ; ½)

1/2

( ½ ; 1 )

1

(1 ; )

f(x)

+

+

+

0

-

0

+

f(x)

-

0

+

+

+

0

+

f(x)

убывает

вып.вниз

min

возрастает

вып.вниз

перегиб

возрастает

вып.вверх

перегиб

возрастает

вып. вниз




  1. Построим график функции.







1   2   3   4

Похожие:

Исследование функций iconИсследование функций тема исследование функций
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб для вузов: в 3т. 5-е изд.,стер. М.: Дрофа. (Высшее образование. Современный...
Исследование функций iconИсследование функций
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения
Исследование функций iconМетодические указания по подготовке к экзамену для студентов заочной формы обучения зэ11
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Исследование функций iconУчебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения...
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Исследование функций iconУчебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения...
Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование...
Исследование функций icon«Исследование функции на четность»
Повторить определение функции. Ввести понятие симметричного множества, определения четной и нечетной функции. Рассмотреть свойства...
Исследование функций iconФункции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т к все полученные результаты...
Исследование функций iconИсследование наилучших приближений непрерывных периодических функций...
Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных...
Исследование функций iconИсследование наилучших приближений непрерывных периодических функций...
Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных...
Исследование функций iconИсследование функций с помощью производной
Теорема. 1) Если функция f(X) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница