Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю




Скачать 36.48 Kb.
НазваниеЛинейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю
Дата публикации24.02.2013
Размер36.48 Kb.
ТипРешение
litcey.ru > Математика > Решение
Иликпаева Е.А. (НЭПИ, 2005)
Теоремы существования и алгоритмы поиска решения

в курсе математики для экономистов
Нельзя представить себе даже сколько-нибудь простую экономико-математическую модель без решения систем линейных алгебраических уравнений с большим числом уравнений и неизвестных. В матричной форме такие системы имеют вид: AX=B. Здесь A – матрица коэффициентов системы, X – вектор-столбец неизвестных, B – вектор-столбец свободных членов. Пусть число уравнений m совпадает с числом неизвестных n: m=n. Возникает множество важных вопросов. Существует ли решение системы? Если решение существует, то единственно ли оно? Каков алгоритм поиска этого решения?

Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю: detA≠0. Для нахождения решения системы можно использовать, например, формулы Крамера: xi=detAi/detA, где detAi – вспомогательные определители системы (i=1,2,3,…n). С точки зрения численных методов и теории некорректных задач такая постановка о единственности решения системы не имеет смысла, так как на практике коэффициенты системы задаются с определенной степенью точности, а значит, и говорить о ее решении также можно с некоторой степенью точности. Любой набор численных значений неизвестных, удовлетворяющий системе, является лишь приближенным ее решением.

Итак, при численном решении задачи мы встречаемся с более сложной постановкой самой задачи. Здесь мы решаем не систему уравнений, а систему неравенств. В простейшем случае это B1<AX<B2, где B1, B2 – достаточно близкие по соответствующим элементам матрицы. Если главный определитель системы близок к нулю, то результат вычислений по формулам Крамера может оказаться ложным. Следует заметить, что эти формулы практически непригодны для численного решения систем, так как число необходимых для этого операций резко возрастает с увеличением числа неизвестных и объем вычислений делается практически неосуществимым.

Из этого примера видно, что теоретическое решение задачи дало лишь объективную уверенность в существовании решения. И это очень важно, так как только после установления существования решения системы можно пытаться найти ее приближенное решение. Отметим, что в рассмотренной задаче более эффективными оказываются методы последовательного исключения неизвестных (методы Гаусса и Жордана), а также методы последовательных итераций.

Если точно знать, что исследуемый объект существует, то это дает возможность более правильно выбрать направление поисков. Здесь уместно вспомнить бесконечные попытки решить задачи о трисекции угла или квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.

Для правильной ориентации будущих экономистов в океане разнообразных математических приемов и методов недостаточно изучение только численных методов. Нужно более широкое знакомство с математикой в целом, так как большей частью все конкретные практические задачи решаются на основе математических теорий.

На первых этапах освоения математики, действительно, необходимо изучить методы выделения главной линейной части функции одной и многих переменных в окрестности некоторой точки из области ее определения, методы аппроксимации функций, т.е., попросту говоря, замены сложной или точечной функции более простой функцией. Освоение таких методов необходимо, полезно и должно составлять неотъемлемую часть математического образования экономистов.

На следующих этапах нужен переход к изложению более абстрактных и более общих математических структур, которые дают будущему экономисту необходимую математическую культуру и широту взгляда на качественное применение экономико-математических моделей в экономической практике.

С самого начала обучения математике целесообразно обращать внимание студента на характер рассматриваемых теорем и утверждений. Доказательство их не всегда может быть алгоритмическим. Например, доказательство известной в математическом анализе теоремы Вейерштрасса о существовании экстремума непрерывной функции на отрезке не дает возможности фактически указать точку, в которой этот экстремум достигается. Однако, также широко известная теорема Коши (непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри него функция, принимающая на концах его значения разных знаков, обращается в некоторой внутренней точке в нуль) имеет алгоритмический характер и доказывается с помощью принципа вложенных отрезков, позволяющего фактически находить точку экстремума с любой степенью точности.

Не всякий алгоритмический процесс целесообразно использовать на практике. Например, рассмотренные выше формулы Крамера несомненно полезны при теоретическом исследовании многих вопросов линейной алгебры и геометрии, однако их применение при численных расчетах неразумно, так как они требуют огромного числа арифметических и логических операций, а также большого объема машинной памяти.

Несмотря на малый объем учебных часов по циклу математических дисциплин, целесообразно с самого начала изучения высшей математики ориентировать студентов на взаимосвязь численных методов с такими абстрактными понятиями как предел последовательности и функции, представление действительного числа в виде бесконечной периодической или непериодической дроби, порядок малости функции и т.д. Такое методическое построение курса высшей математики наряду с изучением важнейших теорем существования и единственности решения обеспечивает неразрывную связь ее аналитических и практических методов.

Похожие:

Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconРешение. Применим алгоритм кмп к слову A#B, где # специальная буква,...
Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных...
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconВы когда-нибудь встречали гениального сыщика из детективного агентства "Магический розыск"?
Тогда почему я пишу эти строки? Это мой дневник, что хочу, то и пишу. А как же тайна, ведь дневник могут прочитать? Пусть попробуют!...
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю icon-
Эти вопросы необходимо распространять и обучать им уже тогда, когда они практически должны претвориться после возникновения Исламского...
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconВокруг него кипела битва. Сотнями гибли светлые маги и Пожиратели...
Но у него была только одна цель. Волдеморт. Он должен найти это чудовище и уничтожить его. Только тогда прекратятся убийства. Только...
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconВсё это и сейчас существует!
Я расскажу тебе о сотворении, Владимир, и тогда сам каждый на свои вопросы ответы сможет дать. Пожалуйста, Владимир, ты послушай...
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconШахта «Рудная»: Кто хозяин?
Хозяин – это неплохо, даже хорошо, но… только тогда, когда он реально существует и несет реальную ответственность за свои действия....
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconБенчмаркинг как основа непрерывного совершенствования и конкурентоспособности
«будем стараться, а там посмотрим» изначально обречены на поражение. Неслучайно гуру современного менеджмента Эдвард Деминг говорил:...
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconКак родились планеты солнечной системы канарёв Ф. М
Анонс. Существуют разные гипотезы о рождении планет Солнечной системы, но не все из них дают ответы на вопросы, следующие из уже...
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconОтчёт о работе Отдела теоретической физики ифвэ в 2008 г. Протвино 2008
«направленный поток» (“directed flow”) в столкновениях адронов и ядер может использоваться в качестве индикатора свойств материи...
Линейная алгебра дает ответы на эти вопросы. А именно, решение существует тогда и только тогда, когда главный определитель системы не равен нулю iconО мире, любви и о…
Это как в кино, когда люди начинают видеть действительность только тогда когда уже всё случилось и назад дорогие нет и не будет
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница