Юргуэс саакян Г. Р
Скачать 253.95 Kb.
|
Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Саакян Г.Р. ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ для студентов 1-2 курсов всех специальностей очной, заочной и дистанционной форм обучения Шахты 2002 СОДЕРЖАНИЕ
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 14 Функции многих переменных – естественное обобщение функций одной переменной. Мы рассмотрим основы дифференциального исчисления функций двух переменных. Почему двух, а не трех или большего числа переменных? Во-первых, принципиального различия между двумя и большим числом переменных нет, увеличение числа переменных ведет лишь к громоздкости выкладок. Во-вторых, случай двух переменных допускает наглядную геометрическую интерпретацию.
1. Вводные понятия. Пусть дано множество , и пусть указано правило, по которому каждой точке соответствует некоторое число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией). Функцию часто записывают в виде « ». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рис. 1. Рис.1. Пример. На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и . Графиком функции называют множество точек ; обычно графиком является некоторая поверхность (рис. 2). При построении графика функции часто пользуются методом сечений. Пример. Построить график функции и найти . Рис.2. Воспользуемся методом сечений. – в плоскости – парабола. – в плоскости –парабола. – в плоскости – окружность. Искомая поверхность – параболоид вращения (рис. 3). ▲ Рис.3. Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число . Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностью радиуса с центром в точке . Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки . Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. ) (рис. 4). Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему (рис. 5). Рис.4. Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему. Определение. Множество называется откры-тым, если все его точки – внутренние. Определение. Множество называется замк-нутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества . Рис.5. Пример. Если , то . При этом . Покажите это! Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от . Образно говоря, точка называется предельной точкой множества , если «к точке можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку ». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству. Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку . Покажите это! ^ Определение. Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при . В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при . Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости). Пусть и – предельная точка множества . Определение. Число называют пределом функции при , если для такое, что , как только . В этом случае пишут или при . При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной. Пример. Найти . Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда . Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от . ▲ Пример. Найти . По любой прямой предел один и тот же: . С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда ; следовательно, предел не существует. ▲ Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное – по аналогии). Определение. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так: . Теорема 1. Если существуют и , то: ; ; , где предельная точка может быть конечной или бесконечной. Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной. ^ Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества . Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если:
Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , и . Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство . Теорема 2. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция . Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему (либо с некоторой своей -окрестностью, либо как его граничная точка). Определение. Множество называется областью, если оно: 1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в . Если – область, то множество называют замкнутой областью. Определение. Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этого множества. ^ Зафиксируем переменную , полагая , а переменной придадим произвольное приращение . Функция получит приращение , которое называется частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Заметим, что является функцией одной переменной . Аналогично, . Определение. Функция называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если ( ). В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных. Теорема 3. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных. Обратное утверждение неверно. Пример. Докажем, что функция непрерывна в точке по каждой переменной и , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных. Рассмотрим частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента : . Очевидно, что , а это означает, что непрерывна в точке по переменной . Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной . Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим . Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция не является непрерывной в этой точке. ▲
1. Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области и . Тогда при малых определено ее частное приращение по : . Определение. Частной производной функции по переменной в точке называют предел , если он существует. Частную производную по обозначают одним из следующих символов: . Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения. Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной. Пример. Найти частные производные функции . Имеем: , . ▲ ^ Рассматривая частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения , называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения , – смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д. Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке: = . Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке . Теорема 4 допускает обобщение: по индукции ее можно распространить на любые непрерывные смешанные частные производные. ^ Пусть . Составим полное приращение функции в точке : . Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде , (1) где и – некоторые числа, при , . Другими словами, функция дифференцируема в точке , если ее приращение эквивалентно функции : при . Выражение в этом случае представляет собой главную часть приращения , линейно зависящую от и . Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главную линейную часть ее приращения называют полным дифференциалом в точке и обозначают в виде . Для независимых переменных и полагают и . Поэтому полный дифференциал записывают также в виде . Формула (1) показывает, что, как и в случае функции одной переменной, верна Теорема 5. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно, т.е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это. Пример. Найдем частные производные функции : . Полученные формулы теряют смысл в точке . Можно показать иначе, что функция не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке . Последнее и означает, что частная производная в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке . ▲ Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных. ^ Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции. Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и . При этом , , где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде , а полный дифференциал функции – в виде . Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции. Теорема 7 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой ). Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность частных производных является только достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости функции. ^ Напомним, что для функции одной переменной из дифференцируемости функции в точке следует существование касательной к графику функции в точке . Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных , . График этой функции, т.е. множество точек , представляет собой поверхность в пространстве . Пусть плоскость проходит через точку поверхности ; – произвольная (текущая) точка поверхности ; – ос нование перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости (рис. 6). Рис. 6. Определение. Плоскость , проходящая через точку поверхности , называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если при ( ) величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем , т.е. . Теорема 8. Если функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная плоскость к поверхности (графику этой функции), причем уравнение касательной плоскости имеет вид . Вектор нормали к касательной плоскости, т.е. , называется вектором нормали (или нормалью) к поверхности в точке . Пример. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду в точке и найти нормаль к параболоиду в этой точке. Пусть – точка на плоскости . Так как , , то , . Учитывая также, что , получаем искомое уравнение касательной плоскости: , или . Вектор является нормалью к параболоиду в точке . ▲ ^ Теорема 9. Пусть – функция, дифференцируемая в точке , и – дифференцируемые функции независимой переменной . Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле или (в другой форме записи) . (2) Формулу (2) можно распространить на случай, когда и – функции двух переменных , : , . (3) ^ . Найти , если , , . По формуле (2) имеем . Пример. Найти и , если , , . По формулам (3) имеем . В эти выражения следует подставить , . ^ Пусть , где – область в , и . Определение. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует -окрестность этой точки такая, что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство ( ). Если здесь знак равенства исключен (кроме случая ), то говорят о строгом локальном максимуме (минимуме). Если функция имеет в данной точке локальный максимум или минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум). |
Похожие:
 | Перечень и формы проведения вступительных испытаний для поступающих,... Предметы вступительных испытаний (Проводятся юргуэс самостоятельно в форме тестирования) |