Юргуэс саакян Г. Р




Скачать 253.95 Kb.
НазваниеЮргуэс саакян Г. Р
Дата публикации30.06.2013
Размер253.95 Kb.
ТипДокументы
litcey.ru > Математика > Документы


Министерство Образования Российской Федерации

ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

(ЮРГУЭС)

Саакян Г.Р.

ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

для студентов 1-2 курсов всех специальностей

очной, заочной и дистанционной форм обучения

Шахты 2002
СОДЕРЖАНИЕ
  • ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 3

  • ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 8


ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 14

Функции многих переменных – естественное обобщение функций одной переменной. Мы рассмотрим основы дифференциального исчисления функций двух переменных. Почему двух, а не трех или большего числа переменных? Во-первых, принципиального различия между двумя и большим числом переменных нет, увеличение числа переменных ведет лишь к громоздкости выкладок. Во-вторых, случай двух переменных допускает наглядную геометрическую интерпретацию.
  • ^

    ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ


1. Вводные понятия. Пусть дано множество , и пусть указано правило, по которому каждой точке соответствует некоторое число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а зависимой переменной (функцией).

Функцию часто записывают в виде « ». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рис. 1.

Рис.1.

Пример. На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .

Графиком функции называют множество точек ; обычно графиком является некоторая поверхность (рис. 2).

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.
Пример. Построить график функции и найти . Рис.2.

Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения (рис. 3). ▲ Рис.3.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

.

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , окружностью радиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. ) (рис. 4).

Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему (рис. 5). Рис.4.

Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Определение. Множество называется откры-тым, если все его точки – внутренние.

Определение. Множество называется замк-нутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества . Рис.5.

Пример. Если , то . При этом . Покажите это!

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Образно говоря, точка называется предельной точкой множества , если «к точке можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку ». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку . Покажите это!

^ 2. Предел функции.

Определение. Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при .

В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при .

Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости).

Пусть и – предельная точка множества .

Определение. Число называют пределом функции при , если для такое, что , как только . В этом случае пишут

или при .

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример. Найти .

Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда
.

Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от . ▲

Пример. Найти .

По любой прямой предел один и тот же:

.

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует. ▲

Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное – по аналогии).

Определение. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

.

Теорема 1. Если существуют и , то:

;

;

,

где предельная точка может быть конечной или бесконечной.

Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.

^ 3. Непрерывность функции. Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

  1. ;

  2. , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , и .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

.

Теорема 2. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция .

Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему (либо с некоторой своей -окрестностью, либо как его граничная точка).

Определение. Множество называется областью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .

Если – область, то множество называют замкнутой областью.

Определение. Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этого множества.

^ 4. Непрерывность по отдельным переменным. Зафиксируем переменную , полагая , а переменной придадим произвольное приращение . Функция получит приращение

,

которое называется частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Заметим, что является функцией одной переменной . Аналогично,

.

Определение. Функция называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

( ).

В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных.

Теорема 3. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

Пример. Докажем, что функция



непрерывна в точке по каждой переменной и , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

Рассмотрим частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента :

.

Очевидно, что , а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция не является непрерывной в этой точке. ▲

  • ^

    ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ


1. Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области и . Тогда при малых определено ее частное приращение по : .

Определение. Частной производной функции по переменной в точке называют предел

,

если он существует.

Частную производную по обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.

Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

Пример. Найти частные производные функции .

Имеем:

, . ▲

^ 2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,

называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения

,

смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.

Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

= .

Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .

Теорема 4 допускает обобщение: по индукции ее можно распространить на любые непрерывные смешанные частные производные.

^ 3. Дифференцируемость функции. Пусть . Составим полное приращение функции в точке :

.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1)

где и – некоторые числа, при , .

Другими словами, функция дифференцируема в точке , если ее приращение эквивалентно функции : при . Выражение в этом случае представляет собой главную часть приращения , линейно зависящую от и .

Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главную линейную часть ее приращения называют полным дифференциалом в точке и обозначают в виде

.

Для независимых переменных и полагают и . Поэтому полный дифференциал записывают также в виде

.

Формула (1) показывает, что, как и в случае функции одной переменной, верна

Теорема 5. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т.е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.

Пример. Найдем частные производные функции :

.

Полученные формулы теряют смысл в точке .

Можно показать иначе, что функция не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке . Последнее и означает, что частная производная в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке . ▲

Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

^ 4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных. Напомним, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.

Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и .

При этом , , где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде

,

а полный дифференциал функции – в виде

.

Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 7 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой ).

Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность частных производных является только достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости функции.

^ 5. Геометрический смысл дифференцируемости функции. Напомним, что для функции одной переменной из дифференцируемости функции в точке следует существование касательной к графику функции в точке .

Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных , . График этой функции, т.е. множество точек , представляет собой поверхность в пространстве . Пусть плоскость проходит через точку поверхности ; – произвольная (текущая) точка поверхности ; – ос

нование перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости (рис. 6).

Рис. 6.

Определение. Плоскость , проходящая через точку поверхности , называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если при ( ) величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем , т.е. .

Теорема 8. Если функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная плоскость к поверхности (графику этой функции), причем уравнение касательной плоскости имеет вид

.

Вектор нормали к касательной плоскости, т.е. , называется вектором нормали (или нормалью) к поверхности в точке .

Пример. Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду в точке и найти нормаль к параболоиду в этой точке.

Пусть – точка на плоскости . Так как , , то , . Учитывая также, что , получаем искомое уравнение касательной плоскости:

, или .

Вектор является нормалью к параболоиду в точке . ▲

^ 6. Дифференцирование сложных функций.

Теорема 9. Пусть функция, дифференцируемая в точке , и дифференцируемые функции независимой переменной . Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле



или (в другой форме записи)

. (2)

Формулу (2) можно распространить на случай, когда и – функции двух переменных , :

, . (3)

^ Пример. Найти , если , , . По формуле (2) имеем

.

Пример. Найти и , если , , . По формулам (3) имеем

.

В эти выражения следует подставить , .

^ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Пусть , где – область в , и .

Определение. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует -окрестность этой точки такая, что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство

( ).

Если здесь знак равенства исключен (кроме случая ), то говорят о строгом локальном максимуме (минимуме). Если функция имеет в данной точке локальный максимум или минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).


Похожие:

Юргуэс саакян Г. Р iconПеречень и формы проведения вступительных испытаний для поступающих,...
Предметы вступительных испытаний (Проводятся юргуэс самостоятельно в форме тестирования)
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница