По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным?

Задачи 21-30 Названные задачи относятся к теме “Дифференциальные уравнения”. По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения? Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков. Геометрический и механический смысл начальных условий. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: P(x)dx+Q(y)dy=0. Нахождение их общего и частного решений. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: . Отыскание его общего и частного решений. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений. Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y0 при x=x0. Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию “y” и ее производную “y/” в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых побирается специальным образом, а другая находится из условия удовлетворения их произведения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x). Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов: Пример 1. Ищем решение уравнения в виде y=uv. Найдем производную этого произведения: y/=u/v+uv/. Подставим функцию y и ее производную у/ в исходное уравнение: В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель “u”, и вынесем его за скобку: Подберем вспомогательную функцию “v” так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках: v/-2v=0 Тогда уравнение примет вид: u/v=e2x Оба последних уравнения решаются разделением переменных. Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию v(x), а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию u(x,с). Замечание. Решая первое уравнение (для вспомогательной функции v(x)), берем лишь его частное решение, соответствующее С=0. При решении второго уравнения для функции u(x) находим общее решение уравнения. Так как y=uv, то y=(x+С)e2x – общее решение уравнения. Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: у0=2 при х0=0. Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения: 2=(0+С) е0, так как е0=1, то С=2. Подставляя найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение: у=(х+2)е2х. Ответ: у=(х+С)е2х – общее решение дифференциального уравнения; у=(х+2)е2х – частное решение дифференциального уравнения. Пример 2. Ищем решение в виде у=uv. Найдем производную: y/=u/v+uv/. Подставим в исходное уравнение у и у/: Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u: Подберем вспомогательную функцию v(x) из условия: Тогда уравнение примет вид: Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение v(x), соответствующее С=0. Таким образом, - общее решение данного дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: , подставив их в найденное общее решение: Подставим С=-2, в общее решение уравнения: - искомое частное решение. Ответ: - общее решение; - частное решение. Пример 3. Ищем решение в виде у=uv, тогда y/=u/v+uv/. Подставим у и у/ в данное уравнение: Потребуем, чтобы (x2+1)v`+xv = 0, тогда (x2+1)u`v=1. Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при С=0. Так как y=uv, то   - общее решение исходного дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям х0=1; у0=2 и подставим их в найденное общее решение: Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение С=20/3: Ответ: - общее решение; - частное решение. Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получиться верное равенство (тождество).

Похожие:

	Для Вас очень Важно внимательно изучить все вопросы, рассматриваемые... На этой странице интересующемуся читателю предлагается весьма вольный перевод маленькой брошюры, выпускавшейся Люфтваффе для пилотов...		1   линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка... Дано дифференциальное уравнение, тогда функция  является его решением при k равном…
	Сро, в которое Вы обратились. Это могут быть следующие вопросы: Какие... В рекомендательной форме мы предлагаем Вам ознакомиться с перечнем вопросов, которые необходимо задать при выборе сро! Не стесняйтесь...		Решение показательных уравнений Уравнение вида а f(X) = а g(X) Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители...
	Уравнение поверхности в пространстве Определение. Любое уравнение, связывающее координаты X, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности		Вопросы, в которых вы допустили ошибку Решите уравнение, приведённое ниже. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней
	386. Точка С(3; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой... Если центр окружности совпадает с началом координат, т е если  = 0,  = 0, то уравнение (1) принимает вид		28. 04. 14. Будут вопросы пишите на электронную почту Чтобы оформить рабочую версию дневника, Вам необходимо совершить следующие действия
	§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.... В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением пер­вой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет...		Конкурс “Блиц-турнир” Чтобы сохранить здоровье, современному человеку необходимо не только обладать специальными знаниями в этой области, но и уметь защитить...