По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным?




Скачать 40.65 Kb.
НазваниеПо этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным?
Дата публикации26.08.2013
Размер40.65 Kb.
ТипВопрос
litcey.ru > Математика > Вопрос
Задачи 21-30

Названные задачи относятся к теме “Дифференциальные уравнения”. По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:

  1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?

  2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

  3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков. Геометрический и механический смысл начальных условий.

  4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: P(x)dx+Q(y)dy=0. Нахождение их общего и частного решений.

  5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: . Отыскание его общего и частного решений.

  6. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.

Задача.

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y0 при x=x0.

Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию “y” и ее производную “y/ в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых побирается специальным образом, а другая находится из условия удовлетворения их произведения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x).

Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:



Пример 1.



Ищем решение уравнения в виде y=uv. Найдем производную этого произведения: y/=u/v+uv/. Подставим функцию y и ее производную у/ в исходное уравнение:



В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель “u”, и вынесем его за скобку:



Подберем вспомогательную функцию “v” так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках: v/-2v=0

Тогда уравнение примет вид: u/v=e2x

Оба последних уравнения решаются разделением переменных. Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию v(x), а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию u(x,с).



Замечание.

Решая первое уравнение (для вспомогательной функции v(x)), берем лишь его частное решение, соответствующее С=0. При решении второго уравнения для функции u(x) находим общее решение уравнения.

Так как y=uv, то y=(x+С)e2x – общее решение уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: у0=2 при х0=0. Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:

2=(0+С) е0, так как е0=1, то С=2.

Подставляя найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:

у=(х+2)е.

Ответ:

у=(х+С)е – общее решение дифференциального уравнения;

у=(х+2)е– частное решение дифференциального уравнения.

Пример 2.



Ищем решение в виде у=uv.

Найдем производную: y/=u/v+uv/.

Подставим в исходное уравнение у и у/:



Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:



Подберем вспомогательную функцию v(x) из условия:

Тогда уравнение примет вид:

Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение v(x), соответствующее С=0.





Таким образом, - общее решение данного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: , подставив их в найденное общее решение:



Подставим С=-2, в общее решение уравнения:

- искомое частное решение.

Ответ:

- общее решение;

- частное решение.

Пример 3.



Ищем решение в виде у=uv, тогда y/=u/v+uv/.

Подставим у и у/ в данное уравнение:



Потребуем, чтобы (x2+1)v`+xv = 0, тогда (x2+1)u`v=1.

Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при С=0.



Так как y=uv, то

  - общее решение исходного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям х0=1; у0=2 и подставим их в найденное общее решение:



Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение С=20/3:



Ответ:

- общее решение;

- частное решение.

Замечание.

Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получиться верное равенство (тождество).

Похожие:

По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? iconДля Вас очень Важно внимательно изучить все вопросы, рассматриваемые...
На этой странице интересующемуся читателю предлагается весьма вольный перевод маленькой брошюры, выпускавшейся Люфтваффе для пилотов...
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? icon1   линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка...
Дано дифференциальное уравнение, тогда функция  является его решением при k равном…
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? iconСро, в которое Вы обратились. Это могут быть следующие вопросы: Какие...
В рекомендательной форме мы предлагаем Вам ознакомиться с перечнем вопросов, которые необходимо задать при выборе сро! Не стесняйтесь...
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? iconРешение показательных уравнений Уравнение вида а f(X) = а g(X)
Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители...
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? iconУравнение поверхности в пространстве
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты X, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? iconВопросы, в которых вы допустили ошибку
Решите уравнение, приведённое ниже. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? icon386. Точка С(3; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой...
Если центр окружности совпадает с началом координат, т е если  = 0,  = 0, то уравнение (1) принимает вид
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? icon28. 04. 14. Будут вопросы пишите на электронную почту
Чтобы оформить рабочую версию дневника, Вам необходимо совершить следующие действия
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? icon§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом....
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением пер­вой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет...
По этой теме необходимо изучить следующие вопросы: Какое уравнение называется дифференциальным? iconКонкурс “Блиц-турнир”
Чтобы сохранить здоровье, современному человеку необходимо не только обладать специальными знаниями в этой области, но и уметь защитить...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница