Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами
Скачать 399.47 Kb.
|
Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Саратовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. Н.Г.Чернышевского Кафедра математического анализа ^ ДИПЛОМНАЯ РАБОТА студентки 524 группы механико-математического факультета Чуркиной Любови Васильевны Научный руководитель к.ф.-м.н, доцент Тимофеев В. Г. Заведующий кафедрой доктор ф.-м.н., профессор Прохоров Д.В. г.Саратов-1996 г. Оглавление.
Введение Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания. Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов. В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи:
Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2. Мы ограничимся случаем, когда j(d) Î N a , для некоторого a , где j(d) - функция сравнения р-го порядка и для 0< d<h £ p  С.Н.Бернштейн, Д.Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для En[f] и дифференциальными свойствами f. Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками En[f] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство:  ,где m - некоторое число. Наша основная теорема формулируется следующим образом: Пусть j Î N a. Для того чтобы  необходимо, чтобы для любого натурального k>a, и достаточно, чтобы для некоторого натурального k>a  где  Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы. В §1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе. В §2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте. §3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f (r) , то  Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции. В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть  Тогда  В §3 доказываем:  (*)В §4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем §5. В §5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином tn , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {tn} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f. Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами tn? Если tn , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы  , необходимо и достаточно, чтобы равномерно относительно n. (fÎHk[w], если  ).Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n.Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы  , необходимо и достаточно чтобы  .§6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения. Известно предложение: пусть  .Тогда, если a не целое, r=[a], b=a-r, то f имеет нерперывную производную  .Случай целого a рассмотрен Зигмундом. В этом случае  .Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0<a<k и .Тогда  .В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий  и  . Мы переносим эти теоремы на условия вида  ,где j Î N a. Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k - натуральное число и  ;для того, чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия  .В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена. В §7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку En[f] снизу, если  .Именно, тогда  Случай a=0 установлен С.Н.Бернштейном [3]. В §8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности. §1. Некоторые вспомогательные определения. В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2p и их приближение тригонометрическими полиномами. Через tn(x) обозначается тригонометрический полином порядка не выше n, а через tn*(x)=tn*(x,f)-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся от f среди всех tn(x). Мы полагаем  и пишем Введём ряд определений. Определение 1. При каждом фиксированном  классом Липшица порядка a называется множество всех непрерывных функция f, модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию где С8-какая-нибудь положительная постоянная, которая не зависит от d и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Этот класс обозначается Ha или Lip a. Определение 2. Обозначим при фиксированном натуральном r через W(r)L класс функций f, которая имеет абсолютно непрерывные производные до (r-1) порядка и у которой r-я производная принадлежит классу L. Определение 3. Для непрерывной на [a,b] функции f (x) назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию w(d)=w(f;d), определённую на [0, b-a] при помощи следующего равенства:  (1.1)или, что то же самое,  (1.1’)Свойства модуля непрерывности:
 (1.2)Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности.  Свойство 2) вытекает из того, что при больших d нам приходится рассматривать sup на более широком множестве значений h. Свойство 4) следует из того, что если мы число  представим в виде h=h1+h2,  и  , то получим Из неравенства (1.2) вытекает, что если  то  т.е.  (1.3)Теперь докажем свойство 3). Так как функция f (x) равномерно непрерывна на [a,b], то  при  и, следовательно, для любых d,   при  а это и означает, что функция w(d) непрерывна. Определение 4. Пусть функция f (x) определена на сегменте [a,b]. Тогда для любого натурального k и любых  и h>0 таких, что  k-й разностью функции f в точке x с шагом h называется величина (1.4)а при  и h>0 таких, что  k-й симметричной разностью - величина (1.4’)Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство  (1.5)Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k  то  Лемма доказана. Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:  (1.6)Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При k=1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:  .Предполагая его справедливость при k-1 (k³2), получим  Лемма доказана. Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)ÎLq (Lq-класс всех вещественных измеримых на [a,b] функции f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка k³1 понимают функцию  Лемма 3. Если  то справедливо  (1.7)Доказательство. В самом деле,  и так далее. Лемма доказана. Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [a,b], то под её модулем гладкости порядка k³1 понимают функцию  заданную для неотрицательных значений  и в случае, когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности.Свойства модулей гладкости:
 (1.8)а при любом  -неравенство (1.8’)5) Если функция f(x) имеет всюду на [a,b] непрерывные производные до (r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я производная  , то (1.9)Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что  2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности. 3) Предполагая для определённости, что d>d’, получим   Этим непрерывность функции wk(d) доказана. 4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем  Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции wk(t) и неравенства (1.8).5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 §1, получим  Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что функция  есть модуль непрерывности k-го порядка функции f, если где  -конечная разность функции f k-го порядка с шагом h: Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k=1 и k=2. Случай k=1 является классическим; вместо  мы будем писать просто  и называть эту функцию модулем непрерывности; функцию  мы будем называть модулем гладкости. Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция  -есть функция сравнения k-го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:
Нетрудно показать, что если f º 0, то  есть функция сравнения k-го порядка (см. Лемму 5 §2). Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k-го порядка . Будем говорить, что функция f принадлежит к классу  , если найдётся константа С10>0 такая, что Вместо  будем писать просто Hka.Если для последовательности функций {fn} (n=1,2,...)  где С10 не зависит от n, то будем писать:  равномерно относительно n.Понятие классов  является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k-ю производную.Определение 10. Зафиксируем число a>0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a (p=-[- a]). Будем говорить, что функция  принадлежит к классу  , если она1) есть функция сравнения p-го порядка и 2) удовлетворяет условию: существует константа С11>0 такая, что для   Условие 2) является небольшим ослаблением условия “  не убывает”. Функции класса Na будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении. Определение 11. Будем говорить, что функция  имеет порядок  , если найдутся две положительные константы С12 и С13 такие, что для всех t, для которых определены функции  и  , .При выполнении этих условий будем писать  .Определение 12. Ядром Дирихле n-го порядка называется функция  (1.10)Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом  (1.10’)Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция  (1.11)Ядро Фейера Fn(t) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка (n-1). Так что имеют место равенства  (1.11’) (1.11’’)где Dk(t)-ядра Дирихле. Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция  (1.12)Свойства ядер Джексона. а) При каждом n ядро Jn(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида  ,где jk=jk(n) - некоторые числа  б)  в)  г)  Доказательство. а) Учитывая, что для ядер Fn(t) Фейера имеют место равенства  получим где jk(k=1,2,...,2n-2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем  Этим свойство а) доказано. б) Это равенство следует из равенства, полученного для j0. в) Так как  при любом  и  при  (**), то г) Совершенно аналогично случаю в) получим  Что и требовалось доказать. Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция  , (1.13)n=1,2,3,...,k-натуральное, где  (1.13’)Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами: а)  б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро Jn,k(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1) в)   n2k-1, т.е. существуют постоянные С14>0 и С15>0, такие, что при всех n=1,2,3,... будет г) При любом s>0 имеет место неравенство  д) При любом натуральном    Доказательство свойств ядер типа Джексона. а) Это свойство вытекает из равенств определения б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет  (1.14)где  - некоторые целые числа.в) Учитывая неравенства (**), будем иметь  (1.15)С другой стороны  (1.15‘)г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)  д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)  (1.16)где A-const, а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sint£t, при всех t³0 (***), имеем  (1.16‘)A1-const. Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать. §2. Простейшие свойства модулей нерперывности. Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f1, f2, ... - непрерывны. ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого d³0  (2.1)Доказательство: по определению,  Лемма доказана. ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, l  (2.2)и  (2.3)Доказательство: Положим  Тогда для 0£l  откуда  Отсюда при l=0 вытекает, что  ,а при 0<l<k  Полагая в (2.3) l=1, находим, что  Из этого неравенства видно, что для любого натурального k  . (2.4)ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k-го порядка  является непрерывной функцией от d.Доказательство: Пусть  Имеем  Отсюда  и  Таким образом  и так как  при  , то отсюда вытекает непрерывность функции , и лемма доказана.ЛЕММА 4. Пусть k и p-натуральные числа. Тогда для любого d³0  (2.5)Доказательство: Индукция по k даёт формулу  Отсюда  и Лемма доказана. ЛЕММА 5. Пусть k-натуральное число, d>0, h>0. Тогда  (2.6)Если кроме того 0<d<h, то  (2.7)Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для h£d. Найдём натуральное число p из условий  (2.8)Тогда h<pd-1, и так как  -является неубывающей функцией от h, то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим Рассмотрим случай для h  (2.9)Тогда h<pd, и так как -является неубывающей функцией от h, то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим ,и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как d+h£2h для 0<d<h. Неравенство (2.7) показывает, что для любой fº0 и любого натурального k  (2.10)Лемма доказана. ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f(r). Тогда  (2.11)и для любого натурального k  (2.12)Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы   Если k=0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.§3. Обобщение теоремы Джексона. Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами. Лемма 7. Пусть дано натуральное число k. Существует последовательность ядер{Kn(t)}(n=0,1,...), где Kn(t) есть тригонометрический полином порядка не выше n, удовлетворяющая условиям:  (3.1) (3.2) (3.3)Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер Kn(t) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить  где k0-целое, не зависит от n,  натуральное p определяется из неравенства ,а bp выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1). Лемма 8. Если последовательность ядер {Kn(t)} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то  (3.4)Доказательство. Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)  Лемма доказана. Теорема 1. Пусть k-натуральное число. Тогда  (3.5)Доказательство. Пусть последовательность ядер {Kn(t)} (n=1,1,2,...) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим  Очевидно,  есть тригонометрический полином порядка не выше n-1. Оценим  Имеем Поэтому  (3.6)Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6)  , получим, что  Отсюда и из (3.4) следует:  Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.1. Пусть k-натуральное число, r-целое неотрицательное. Тогда  (3.7)В самом деле, согласно (2.12)  и применение теоремы 1 даёт (3.7). §4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна. В этом параграфе формулируется одно обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома. Теорема 2. Пусть  . Тогда для любого натурального k (4.1)и неравенство обращается в неравенство в том и только в том случае, если  Доказательство этого неравенства опубликовано в работе С.Б.Стечкина [2]. Отметим несколько следствий из этого неравенства. Следствие 2.1. (неравенство С.Н.Бернштейна):  (4.2)Полагая в (4.1)  , получаем (это неравенство доказано С.М.Никольским [5]) но по лемме 2 |
и 
есть функция, монотонно возрастающая;
определена для 
,
Похожие:
 | Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций... Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных... |  | Исследование функций тема исследование функций Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб для вузов: в 3т. 5-е изд.,стер. М.: Дрофа. (Высшее образование. Современный... |
| А. Н. Тихонов и А. А. Самарский Если же характеристики пересекаются или начальные данные разрывны, то решение не всегда может быть найдено в классе непрерывных функций,... | | Теория многочленной аппроксимации рядами Фурье для периодических функций Материалы данного файла могут быть использованы без ограничений для написания собственных работ с целью последующей сдачи в учебных... |
| Исследование функций Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения | | Методические указания по подготовке к экзамену для студентов заочной формы обучения зэ11 Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование... |
| Учебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения... Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование... | | Учебно-методический комплекс для студентов заочной формы обучения... Метод интегрирования по частям. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование... |
 | «Исследование функции на четность» Повторить определение функции. Ввести понятие симметричного множества, определения четной и нечетной функции. Рассмотреть свойства... | | Исследование функций Определение. Производной функции f(X) в точке Х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,... |