Остаток в формуле Тейлора и его оценка




Скачать 45.89 Kb.
НазваниеОстаток в формуле Тейлора и его оценка
Дата публикации09.11.2013
Размер45.89 Kb.
ТипДокументы
litcey.ru > Математика > Документы

Остаток в формуле Тейлора и его оценка


Разность между функцией и её многочленом Тейлора называется -м остатком, или -м остаточным членом; обозначим этот остаток через :



Формула , в более развёрнутой форме имеющая вид



называется формулой Тейлора для функции в точке , а представление функции в таком виде -- её разложением по формуле Тейлора.

Если считать, что остаток мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула



дающая возможность для приближённого нахождения значений функции .

Выясним, в каком смысле можно понимать "малость" остатка в формуле Тейлора, чтобы этой приближённой формулой мы могли пользоваться осмысленно.

CLX.ru - реклама в интернет

        Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)   Пусть  -- остаток в формуле Тейлора для функции в точке , и функция имеет непрерывную -ю производную. Тогда  -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как , при . (Остаточный член , о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

        Доказательство.     Утверждение теоремы означает, что существует



При остаток будет иметь тот же порядок малости, что , а при  -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:



   



   

Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём раз:



   



   



   



   



   

Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению  -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.     

Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от значения будут отклоняться от не более чем на величину -го порядка малости относительно разности , что даёт нам уверенность в том, что замена на многочлен Тейлора будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения . Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка . Этот пробел устраняет следующая теорема.

        Теорема 6.2 (остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа)   Пусть при всех существует -я производная . Тогда для любого существует точка , лежащая между и (то есть при ), такая что



(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)

        Доказательство.     Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию переменного , изменяющегося в рассматриваемой окрестности точки . Эта функция будет зависеть также от параметра :



Подберём такое значение параметра , равное , чтобы при функция обращалась в 0: . Фиксируем такое значение .

Тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке (или , если ): , что очевидно по определению функции ; согласно выбору параметра; дифференцируемость на и непрерывность в точках и следуют из предположенных свойств функции . По теореме Ролля существует такая точка , что



Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции , что



   



   

Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем



Подстановка даёт



откуда следует, что



Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что . Подставив найденное значение в выражение для , получим:



   



   

Отсюда получаем, наконец,



что и требовалось доказать.     

        Замечание 6.1   Полученную в предыдущей теореме оценку остатка удобно применять для оценки погрешности при замене функции её многочленом Тейлора, если известно, что -я производная при всех из рассматриваемого интервала ограничена по абсолютной величине некоторым числом:



Тогда



и при каждом фиксированном мы можем узнать оценку погрешности приближённой формулы .     

        Замечание 6.2   Мы всюду подчёркивали, что приближённая формула имеет место только при малых значениях отклонения . Надежды на то, что при увеличении интервал, на котором можно будет применять с заданной точностью эту приближённую формулу, будет расширяться, вообще говоря, не оправдываются. Для пояснения сказанного приведём пример.

Пусть рассматривается функция , доопределённая при по непрерывности: . Ранее мы уже рассматривали эту функцию и выяснили, что все её производные существуют на всей оси и при равны 0: при всех . Это означает, что при любом порядке многочлена Тейлора все его коэффициенты равны 0, и формула Тейлора сводится к равенству . Таким образом, любой остаток в формуле Тейлора для этой функции в точке 0 равен одному и тому же, а именно, самой функции ! Поэтому уменьшить остаток за счёт увеличения здесь никак не возможно: единственным приближением, которое формула Тейлора даёт для функции , здесь служит тождественный 0.     

Похожие:

Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconМногочлен Тейлора
Многочлен, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя...
Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconРяды Индивидуальные задания
Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки и найти его область сходимости
Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconРасчет программы запуска ( n з ) производится по формуле n в программа...
Расчет эффективного фонда времени работы оборудования онпл производится по формуле
Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconЗадание n 24. Если, то коэффициент а4 разложения данной функции в...
Если, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням (х–1) равен…
Остаток в формуле Тейлора и его оценка icon9. Разложение элементарных функций в степенные ряды
Для произвольного  выберем   так, чтобы. Применим к   формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:, где. По условию,  и....
Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconОстаток ассигнований

Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconТы лежала и смотрела на него в предрассветном сумраке. Остаток этой...
Раньше ты пугалась, когда он вот так внезапно просыпался, будто и не спал вовсе. Пугалась и вздрагивала, когда его чудесные изумрудные...
Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconИсследование функций
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения
Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconN =5, m =6 Оценка 3 – три задачи на выбор Оценка 4 – четыре задачи...
Дана вещественная квадратная матрица порядка 2n*2n, заполненная случайными числами. Получить новую матрицу, переставляя блоки размера...
Остаток в формуле Тейлора и его оценка iconОб одном взгляде на закон Кулона
Кулона о взаимодействии двух точечных электрических зарядов. Коэффициент в формуле закона имеет явно подгоночный характер. Рассмотрен...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница