Стандартные неравенства




Скачать 43.49 Kb.
НазваниеСтандартные неравенства
Дата публикации09.11.2013
Размер43.49 Kb.
ТипРешение
litcey.ru > Математика > Решение
Стандартные неравенства
Решение неравенств (так же как и решение уравнений) обычно распадается на два шага – преобразование неравенства к одному из стандартных и решение стандартного неравенства. К стандартным неравенствам мы отнесем следующие типы неравенств (из возможных четырех знаков неравенства мы выбираем один):

1) Линейное неравенство ax + b > 0.

2) Кусочно-линейное неравенство. |ax + b| < c.

3) Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0.

4) Степенное неравенство xn > a.

5) Показательное неравенство ax > b.

6) Логарифмическое неравенство logax > b.

Решение стандартных неравенств мы покажем на конкретных примерах.

При решении полезно использовать числовую ось.

Примеры

1) –2x + 3 > x + 5 – линейное неравенство

–2x + 3> x + 5  3x < –2  x < –.



Ответ: .

2) |2x – 3| ≤ 5 – кусочно-линейное неравенство

|2x – 3| ≤ 5  .



Ответ: [–1; 4].

3) –2x2 + 5x – 3 < 0 – квадратное неравенство

–2x2 + 5x – 3 < 0  2x2 – 5x + 3 > 0; x1 = 1; x2 = .



Ответ: (–; 1)  .

4) (2x + 1)(x + 1) ≤ x (1 – x) – квадратное неравенство

2x2 + 3x + 1 ≤ –x2 + x  3x2 + 2x + 1 ≤ 0 – квадратный трехчлен 3x2 + 2x + 1 корней не имеет, поэтому при всех x верно неравенство 3x2 + 2x + 1 > 0. Ответ: решений нет.

5) x3 < –1 – степенное неравенство

x3 < –1  x < –1. Ответ: (–; –1).

6)  – степенное неравенство

ОДЗ: x ≥ 1.

 1 ≤ x < 9. Ответ: [1; 9).

7) 2x ≥ –1 – показательное неравенство

Так как левая часть строго положительна, то неравенство выполняется при всех x. Ответ: x – любое число.

8)  – логарифмическое неравенство

ОДЗ: x < 3

 0 < 3 – x < 2  .



Ответ: (1; 3).
Замечание о стандартных тригонометрических неравенствах

При решении тригонометрических неравенств полезно ограничиться одним периодом встречающихся в неравенстве функций, а затем уже записать ответ в виде объединения бесконечного множества промежутков. Приведем примеры:

1) sin 2x > . Период равен . Решаем неравенство на промежутке [0; ), используя тригонометрический круг (рис. 1).

sin 2x > 











Ответ: , k  Z. Имеется в виду, что берется объединение всех указанных промежутков.

2) cos x > –. Решаем неравенство на промежутке [–; ).

.

Ответ: , k  Z. Заметим, что если выбрать промежуток [0, 2), то решение на этом промежутке представится как объединение двух промежутков и . Это также допустимо.




При решении неравенств часто используется метод интервалов.

^ Метод интервалов – это метод нахождения знака выражения (а значит, и решения неравенства) с помощью разбиения ОДЗ выражения на интервалы (промежутки), на каждом из которых выражение сохраняет постоянный знак.
Пример. Разложение на линейные множители



Перенесем правую часть влево, приведем к общему знаменателю и разложим на множители числитель дроби:

  .



Применяя метод интервалов, с помощью числовой оси решаем неравенство и получаем ответ: x < –3, –2 < x < –1, x > 1.

Его можно записать в виде объединения интервалов.

Ответ: (–; –3)  (–2; –1)  (1; +).
^ Ремарка о записи линейного множителя

Линейная функция y = ax + b (a  0) имеет единственный корень x = . Ее знак на каждом из интервалов и зависит от знака a. Для того чтобы избежать ошибок, мы рекомендуем переходить к линейной функции с положительным старшим коэффициентом, меняя, если нужно, знак неравенства.

Например, решая неравенство заменяем его на равносильное (трижды меняя знак и старшие коэффициенты):


Похожие:

Стандартные неравенства iconТема «Иррациональные неравенства»
При решения нестрогого неравенства рассматривают объединение решений соответствующего уравнения и строгого неравенства
Стандартные неравенства iconОбсуждение заданий Блок А
Это стандартные неравенства, решение которых находятся устно (обратите внимание на то, надо включать граничную точку или нет)
Стандартные неравенства iconСтандартные функции
Для выполнения часто встречающихся вычислительных операций и преобразования данных, относящихся к раз­ным типам, в языке Турбо-Паскаль...
Стандартные неравенства iconРешение неравенства с одной переменной?
Ответ. Неравенство с одной переменной получается, когда соединяют знаком неравенства два выражения, содержащие одну букву, обозначающую...
Стандартные неравенства iconРешение задач «Математика абитуриенту. Версия 0» Содержит задачи для
Содержит задачи для подготовки к письменному экзамену по темам: «Тригонометрия», «Простейшие уравнения и неравенства», «Алгебраические...
Стандартные неравенства iconРазберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию
Же функцию (например, освобождение от знаменателя). Этот прием рекомендуется выполнять лишь при уверенности, что множитель сохраняет...
Стандартные неравенства iconМультимодальный транспортный коносамент (фиата) Стандартные (общие)...
Стандартные (общие) условия оборотного коносамента перевозки груза в смешанном сообщении
Стандартные неравенства iconСтандартные понятия о рынке Форекс для тех, кто только знакомится с межбанковским рынком валют
Стандартные понятия о рынке Форекс для тех, кто только знакомится с межбанковским рынком валют: Общие понятия/определения, общепринятая...
Стандартные неравенства iconЛабораторная работа №4 Графическая операционная система Windows xp...

Стандартные неравенства icon10. 01. 2012 Дробно-рациональные неравенства. Обобщенный метод интервалов

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница