Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства




Скачать 87.68 Kb.
НазваниеБесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
Дата публикации20.11.2013
Размер87.68 Kb.
ТипДокументы
litcey.ru > Математика > Документы

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства


В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.

        Определение 2.9   Функция называется бесконечно малой величиной при базе , если её предел при данной базе равен 0, то есть .    

Заметим, что в этом определении фигурирует фиксированная база ; в зависимости от того, какая именно база взята, одна и та же функция может как быть бесконечно малой, так и не быть ею.

        Пример 2.8   Рассмотрим функцию . При базе эта функция является бесконечно малой, а при базе  -- не является.



Рис.2.16.График функции

CLX.ru - реклама в интернет

Проверим это. Покажем, что . Возьмём произвольное и решим неравенство . Оно эквивалентно неравенству . Получаем ; это означает, что при , где , неравенство выполняется, то есть . Мы показали, что  -- бесконечно малая при .

Теперь покажем, что , то есть что эта величина не является бесконечно малой при . Возьмём и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство . Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству , то есть при попадание в -окрестность точки 0 гарантирует выполнение неравенства . Это означает, что .     

        Пример 2.9   Функция  -- бесконечно малая при , и при . Для того, чтобы это доказать, достаточно для любого указать окончание базы , на котором выполняется неравенство . При , очевидно, неравенство выполняется. Это означает, что .     

Докажем теперь теорему, связывающую бесконечно малые с величинами, имеющими произвольное значение предела.

        Теорема 2.4   Функция имеет при базе предел, равный , тогда и только тогда, когда величина является бесконечно малой при базе :



        Доказательство.     Согласно определению предела, равенство означает, что для любого можно найти такое окончание , что

при всех

(2.1)

Условие означает, что для любого можно найти такое окончание , что

при всех

   

CLX.ru - реклама в интернет

Но это, очевидно, то же, что формула (2.1).     

Теперь обратимся к свойствам, касающимся собственно бесконечно малых.

        Теорема 2.5   Пусть и  -- бесконечно малые при одной и той же базе . Тогда и их сумма  -- тоже бесконечно малая при базе .

        Доказательство.    Пусть фиксировано некоторое число . Рассмотрим положительное число . Условие означает, что найдётся такое окончание , на котором меньше этого положительного числа: при всех .

Точно так же, условие означает, что найдётся такое окончание , на котором при всех . По определению базы, она содержит некоторое окончание . Так как  -- часть как , так и , то оба неравенства выполняются при . Тогда при будет



Итак, при произвольно заданном мы предъявили такое окончание , на котором выполняется неравенство . Это означает, что , то есть что  -- бесконечно малая при базе .     

        Пример 2.10   При базе рассмотрим две бесконечно малых величины: и . Вместе с ними и величина тоже является бесконечно малой при базе .    

Докажем теперь, как следствие из предыдущей теоремы, утверждение о том, что бесконечно малой является сумма не только двух, но любого числа бесконечно малых величин.

        Следствие 2.1   Пусть  -- бесконечно малые при базе , . Тогда величина



также является бесконечно малой при базе .

        Доказательство.     Доказывать утверждение теоремы мы будем по индукции^ 5 по числу слагаемых. Для двух слагаемых это утверждение верно по теореме 2.5. Пусть утверждение верно для слагаемых; это означает, что величина бесконечно мала. Покажем, что тогда оно верно и для слагаемых. По условию бесконечно мала также величина и, значит, по теореме 2.5 бесконечно мала сумма этих двух бесконечно малых . Тем самым шаг индукции сделан и утверждение доказано для произвольного числа слагаемых .     

В дальнейшем нам часто будет нужно рассматривать функции, которые не превосходят некоторой постоянной на некотором окончании данной базы. Дадим им следующее название.

        Определение 2.10   Функция называется локально ограниченной при базе , если она определена на некотором окончании этой базы и существует такая постоянная , что при всех .    


Рис.2.17.Локально ограниченная величина при базе

        Пример 2.11   Любая постоянная величина локально ограничена при любой базе. Действительно, в качестве ограничивающей постоянной достаточно взять ; тогда условие верно для из любого окончания любой базы  .     

Докажем следующее утверждение, имеющее вспомогательный характер для дальнейшего.

        Предложение 2.1   Пусть при данной базе две функции и являются локально ограниченными. Тогда и их произведение тоже локально ограничено при этой базе.

        Доказательство.     Из условия следует, что при и при , где  -- некоторые постоянные и  -- некоторые окончания базы . Возьмём окончание ; при будут выполнены оба неравенства и, следовательно,



Это означает, что постоянная служит ограничивающей постоянной для произведения на окончании , то есть это произведение локально ограничено при базе .     

Локальная ограниченность функции не означает, что она ограничена на всей своей области определения. Например, функция локально ограничена при базе , но не является ограниченной функцией при всех . Если в качестве базы рассматривается , то локальная ограниченность функции при этой базе означает, что функция ограничена в некоторой, быть может, достаточно малой, окрестности точки .

        Теорема 2.6   Пусть функция имеет предел при базе . Тогда эта функция локально ограничена при этой базе.

        Доказательство.     Пусть ; это означает, что при любом (возьмём, например, ) найдётся такое окончание базы , что для любого . Тем самым, при выполнено двойное неравенство .

Выберем из двух чисел и число с большей абсолютной величиной и обозначим его : . Тогда, очевидно, из последнего неравенства следует, что ; это означает, что функция локально ограничена.     

В частности, локально ограничены при базе все бесконечно малые при базе , так как все они, по определению, имеют предел (равный 0).

        Пример 2.12   Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию и базу . Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную и окончание базы , тогда при всех . Однако не имеет предела при : какое бы окончание ни взять, при значения многократно изменяются от до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел не существует: докажите, что при нельзя указать окончания базы , при всех из которого при некотором выполнялось бы неравенство . Такое окончание должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)

Поскольку предела при не существует, то если сделать замену , получится, что предел также не существует. График функции представлен на следующем рисунке.



Рис.2.18.График

График совершает бесконечно много колебаний при подходе к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида , , значения, равные , -- в точках вида , , а значения, равные 0, -- в точках вида , .     

Докажем теперь теорему о взаимосвязи локально ограниченных и бесконечно малых величин.

        Теорема 2.7   Пусть  -- база, функция локально ограничена, а функция бесконечно мала при этой базе. Тогда их произведение  -- бесконечно малая при базе .

        Доказательство.     Так как локально ограничена при базе , то при некотором и всех из некоторого окончания базы . Фиксируем произвольное число и рассмотрим положительное число . Так как  -- бесконечно малая при базе , то найдётся такое окончание , что при всех выполняется неравенство . Рассмотрим теперь некоторое окончание . (Такое окончание существует по определению базы.) Так как  -- часть как , так и , то при выполняются одновременно неравенства и , из которых следует, что при всех . Так как число было выбрано произвольно, это означает, что функция является бесконечно малой при базе .     

        Пример 2.13   Пусть и . Так как бесконечно мала, а локально ограничена при базе , то их произведение  -- бесконечно малая при , а также при и при (см.  упражнение 2.4).    



Рис.2.19.График

        Пример 2.14   В предыдущем примере сделаем замену . Тогда, очевидно, функция перейдёт в функцию , а базы , и , соответственно, в базы , и . Значение предела при замене не изменится, так что     



Рис.2.20.График функции

        Следствие 2.2   Пусть  -- постоянная и  -- бесконечно малая при базе . Тогда  -- тоже бесконечно малая при базе  .

        Доказательство.     Достаточно заметить, что локально ограничена при базе и сослаться на предыдущую теорему.     

        Следствие 2.3   Пусть  -- бесконечно малые при базе и  -- произвольные постоянные. Тогда величина вида



является бесконечно малой при базе .

        Доказательство.     Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2.1.     

        Замечание 2.1   Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множество всех функций, определённых на некотором фиксированном окончании базы и бесконечно малых при этой базе , имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.

 

Похожие:

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconВопросы коллоквиума №2
...
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconСравнение бесконечно малых
Определение 16 Пусть фиксирована некоторая база и на некотором её окончании заданы две функции и, бесконечно малые при базе. Предположим...
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconОбщие свойства пределов
В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства...
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconИсходным является понятие величины
Значения величины могут быть различными. Наиболее часто встречаются величины, принимающие числовые значения (скалярные величины)...
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconПравило Лопиталя
На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или...
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconВопросы для фдпп по курсу "Основы психодиагностики"
Элементы теории вероятности и математической статистики: случайное событие, случайная величина, вероятность случайного события (величины),...
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconЭлементарные функции, их графики, свойства и приложения (например, в экономике)
...
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconБессмысленная пытка продолжалась бесконечно долго. Бесконечно долго...
Бессмысленная пытка продолжалась бесконечно долго. Бесконечно долго они бежали по выжженной безжалостным солнцем бесплодной земле....
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconСовокупность операций по применению технического средства, хранящего...
Гси. Основные нормативно-технические документы гси — государственные стандарты, в соответствии с рекомендациями XI генеральной...
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства iconСоциология. Вопросы: Соц группы и общества
Бывают: большие и малые. Малые носят неформальный характер, Большие носят формальный вид отнашений, чаще всего обусловлены законами,...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница