1. Определение события. Независимость событий. Примеры не независимых событий

1. Определение события. Независимость событий. Примеры не независимых событий. В теории вероятностей сложилась своя терминология. Сопоставление общемат терминологии и терминологии теорвера: Множество – Пространство элементарных событий , Элемент – Элементарное Событие ω1, ω2… Подмножество – События A, B… Длина, площадь, объем и д.р. – Вероятность события P(A). Числовая функция – Случайная величина Х, У… Т.е. событие – это подмножество пространства элементарных событий. А. Мы рассматриваем конечное множество эл событий, т.е.  =  ω1, ω2… ωN Вероятность события А равна P(A)=pi (сумма по ωiА); P()=1; P()=0. т.е. для любого события 0 События A и В называются независимыми, если P(AB)=P(A)*P(B) [AB=] События А1,А2,…,Аk называются независимыми, если P(i=1kA)= i=1kP(Ai) Примеры: 1. Событие А – герб выпал при первом броске, событие В – при втором А={ГГ, ГР}, В={ГГ, РГ}, AB={ГГ}, P(А)=1/2, P(В)=1/2, P(AB)=1/4. необходимо проверить свойство независимости P(AB)=P(А)*P(В). Проверяем: ¼=1/2*1/2. Вау! Супер! Получилось  события А и В независимы. 2. Пример 3-х событий, 2 из которых независимы, но которые не независимы в совокупности. A={w1, w3}, B={w1, w2}, C={w1,w4}. (НАРИСОВАТЬ) P(A)= P(B)= P(C)=1/2; P(AB)=P(AC)=P(CB)=1/4, P(ABC)=1/4. ¼!=1/2*1/2*1/2  три события не являются независимыми, а 2 являются (мо проверить). Если события А1,А2,…,Аk попарно не пересекаются, то имеет место ^ Теорема о сложении вероятностей P(i=1kAi)= i=1kP(Ak) 2. Определение случайной величины. Независимость случайных величин. Примеры не независимых случайных величин. Случайные величины обозначаются буквами X,Y… Поскольку случайная величина – это числовая функция, определенная на множестве , верна запись X: R Пусть случайная величина X: R принимает k различных значений x1, x2,…xk и случайная величина У: R принимает l различных значений y1, y2,…yl. Поскольку множество конечно и содержит всего N элементов, то kN, lN. Аi – подмножество , на котором сл вел Х равна хi. Таким образом, =i=1kAi. Вj – подмножество , на котором сл вел У равна уi. Таким образом, =j=1lBj. Определение. Случайные величины X и Y независимы, если при любых i и j (1jl, 1ik) независимы события Ai и Вj. Пример ={ГГ, ГР, РГ, РР} X: 1 -1 -1 1 (-1 – проиграли рубль) Y: 3 -1 -1 -1 A1={ГР, РГ}, A2={ГГ, РР}, В1={ГР, РГ, РР}, В2={ГГ}. P(A1)=1/2, P(A2)=1/2, P(B1)=3/4, P(B2)=1/4. i=1, j=1: A1 В1={ГР, РГ}. P(A1 В1)=1/2. ½!=3/4*1/2  события A1 и В1 не являются независимыми  случайные величины X и Y не являются независимыми. 3. Определения математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения, ковариации, корреляции случайных величин. Определение моментов случайных величин. Математическим ожиданием случайной величины Х называется следующее число Е(Х)= ∑{i=1;∞} xipi Дисперсией случайной величины Х называется следующее число D(X)= ∑{i=1;∞} [X-E(X)]2pi Стандартным отклонением случайной величины называют квадратный корень из ее дисперсии: σ= √ D(Х) Ковариацией случайных величин Х и У называется следующее число Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)∙E(Y) Если стандартные отклонения случайных величин Х и У положительны, то корреляцией Х и У называется следующее число Corr(X,Y)=Cov(X,Y)/σXσY ^ Моменты случайной величины: Начальным моментом (или просто моментом) k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a k = Mx k. Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx )k. Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка, a 2 = Mx 2 = M(x - Mx )2 = Dx . ^ 4. Свойства математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения, ковариации, корреляции случайных величин. I. Свойства математического ожидания 1. E(C)=C, где С-соnst 2. E(CX)=C∙E(X) 3. E(XY)=E(X)∙E(Y) – если Х и У независимы 4. E(X+Y)=E(X)+E(Y) II. Свойства дисперсии D(C)=0 D(CX)=C2D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y) – если Х и У независимы D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) III. Свойства стандартного отклонения σсX =|c|σX σс+X =σX IV. Свойства ковариации 1. Cov(СX,Y)=СCov(X,Y) 2. Cov(X,Y)=Cov(Y,Х) 3. Cov(X1+Х2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) 4. Cov(X,Y)=0, если Х и У независимы V. Свойства корреляции 1. Corr(X,Y)=0, если Х и У независимы 2. если |Corr(X,Y)|=1, то => У=a+bХ, где a и b некоторые числа, а!=0 3. если σX>0, σY>0 то Corr(X,Y)=0 4. Corr(СX,Y)= Corr(X,Y) ^ 5. Определение и свойства функции распределения случайной величины. Случайной величиной называется функция X=X(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω, для которой событие {X принадлежит σ-алгебре А для любого вещественного x. Условие {X дает возможность рассматривать вероятности событий {X, поскольку вероятности определены только на множествах из А. Кроме того, через события {Xс помощью известных операций над событиями моно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной X. Такое событие будет также принадлежать σ-алгебре А, и, следовательно, для него определена вероятность. Вся совокупность вероятностей P(X задает закон распределения случайной величины X в общем случае. Часто для краткости закон распределения называют просто распределением случайной величины Х. ^ Опр.: Функция F(x) = P(X называется функцией распределения случайной величины Х. Пример. Функция распределения величины Х, равной числу гербов, выпавших при четырех бросаниях симметричной монеты, имеет вид 1 2 3 4 Свойства 1.Если х12, то F(х1) ≤F(x2), т. е. F(x) – неубывающая функция. Доказательство этого свойства опирается на свойства вероятностей. Положим, А={X< х1}, B={X< x2}. При х12 выполняется включение А в В, т. к. если X(ω) < х1 , то и X(ω) < x2. По третьему свойству вероятностей имеем P(A) ≤ P(B), а это по определению функции распределения и означает, что F(х1) ≤F(x2). 2. lim F(x) = 0 lim F(x) = 1 x→-∞ x→+∞ Поскольку {X< -∞ }= пустое множество, а {X< ∞ }= Ω, т. е. эти события являются соответственно невозможным и достоверным, то по первому и второму свойству вероятностей P(X<-∞)=0, а P(X< ∞)=1. ^ 3.Функция F(x) непрерывна слева lim F(x)= F(y) x↑y Выберем произвольную монотонно возрастающую последовательность хn, стремящуюся к точке y. Тогда для k=2,3… выполняется {Xk-1} включает ∞ {Xk}, и {Xk}. По свойству вероятностей при n →∞: k=1 ∞ P(Xn) → P(∑ {X< xk}) =P(X k=1 В силу определения функции распределения это соотношение можно переписать следующим образом: F(xn) → F(y) при xn↑y. ^ 6. Определение и примеры дискретных случайных величин. Совместное дискретное распределение компонент случайного вектора. Дискретной (прерывной) называют с.в., которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Число возможных значения дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Непрерывной называют с.в., которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. ^ Законом распределения дискретной с.в. называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически и графически. При табличном значении закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn Приняв во внимание, что в одном испытании с.в. принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X=x1, X=x2, …, X=xn образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице: p1 + p2 + … +pn = 1. Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд p1 + p2 + … сходится и его сумма равна единице. ^ 7. Непрерывные случайные величины и свойства функции плотности. Совместное непрерывное распределение компонент случайного вектора. Случайные величины, принимающие конечное число значений, называются дискретными. К дискретным величинам также относятся случайные величины, принимающие счетное число значений. Для дискретной случайной величины функция распределения кусочно-постоянна. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения дифференцируема. Функция распределения может быть дифференцируема всюду, кроме счетного числа точек. ^ Опр.: Если F(x) – функция распределения непрерывной случайной величины, то f(x)=F′(x) называется функцией плотности. Теорема. Если случайная величина X имеет функцию плотности f(x), то математическое ожидание случайной величины X выражается следующей формулой E(X)=интеграл(-∞;∞)x f(x)dx Теорема. Если случайная величина X имеет функцию плотности f(x), то дисперсия случайной величины X выражается следующей формулой D(X)=интеграл(-∞;∞)(x-E(X))2 f(x)dx Свойства Интеграл(-∞;∞)x f(y)dy=1 f(x)= F′(x), если функция распределения дифференцируема. Рассмотрим 2 случайные дискретные величины X и Y. Пусть случайная величина X принимает значения x1, x2…xn, а случайная величина Y принимает значения y1y2…ym. Одновременное наступление событий {X=xi} и {Y=yj} будем обозначать { X= xi ; Y= yj }. Обозначим pij=P(X= xi ; Y= yj). Опр.: Соответствие, которое каждой паре значении (xi, yj) дискретных случайных величин X и Y сопоставляет ее вероятность pij, называется совместным законом распределения случайных величин X и Y. Опр.: Дискретные случайные X и Y называются независимыми, если для всех пар (i,j) выполняются соотношения P(X= xi ; Y= yj)=P(X= xi)P(Y= yj), т. е. события {X= xi } и {Y= yj } являются независимыми. Опр.: Функция F(x1,x2…xk)=P(X1< x1, X2< x2,…,Xk< xk), xk €(-∞;∞) называется совместной функцией распределения величин X1, X2,… Xk. Свойства совместной функции распределения Функция F(x1, x2… xk) является неубывающей функцией каждого аргумента, при условии, что другие фиксированы Если x1=-∞ при некотором l, то F(x1, x2… xk)=0, а если положить x1=∞, то x1….xl-1, ∞, x1…. xk ) как функция k-1 переменной будет являться совместной функцией распределения k-1 случайных величин X1,…,Xl-1, Xl+1,…, Xk, среди которых присутствует величина X1. По каждой переменной x1 функция F(x1, x2… xk) непрерывна слева:

Похожие:

	Теоретические вопросы в заданиях по курсу Определение случайной величины. Независимость случайных величин. Примеры не независимых случайных величин		История древней церкви В. В. Болотов «История» от глагола «Ойда» = знать, знание, гнозис, но как ви́дение событий, духовное ви́дение. Суть истории в непосредственном...
	Эта книга посвящается моей дочери карен Большинство событий, описанных в этой книге, события исторические. В книге много сцен, фоном для которых служат реальные события		Билет №6 Показатели смо Потоком событий – называют последовательность событий наступающих одно за другим в какие-то случайные моменты времени
	Билет №6 Показатели смо Потоком событий – называют последовательность событий наступающих одно за другим в какие-то случайные моменты времени		Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования... Терема умножения вероятностей событий (произведение событий, условная вероятность)
	Жизненные событияПоделиться… Психологи, поддерживающие модель «жизненных событий», рассматривают перемены, происходящие в зрелом и пожилом возрасте, как результат...		Формула полной вероятности В этом случае будем говорить, что H1,  hn образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами
	Очерки времен и событий из истории российских евреев Очерки времен и событий, часть вторая — естественное продолжение предыдущей книги с тем же названием, повествование в которой было...		Может наступить лишь при условии появления одного из двух несовместных... Событие а может наступить лишь при условии появления одного из двух несовместных событий и, образующих полную группу событий. Известны...