Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию




Скачать 77.41 Kb.
НазваниеРазберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию
Дата публикации10.07.2013
Размер77.41 Kb.
ТипДокументы
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию.

1. Умножение на одну и ту же функцию (например, освобождение от знаменателя). Этот прием рекомендуется выполнять лишь при уверенности, что множитель сохраняет постоянный знак (для всех допустимых значений неизвестного). В противном случае лучше перенести все члены в одну часть неравенства и воспользоваться методом интервалов.
Примеры. Умножение неравенства

1) 

ОДЗ: x ≥ 0

– умножение на y = x + 1 не нарушает равносильность, так как y > 0 на ОДЗ неравенства.

Дальнейшее решение – в примере 4.

2) x3 < x3 + 2x2 + 2x + 1  2x2 + 2x + 1 > 0; у квадратного трехчлена 2x2 + 2x + 1 корней нет. Ответ: x – любое число.
2. Возведение в квадрат. Рассмотрим числовое неравенство a > b. Если b ≥ 0 (тогда a > 0), то из неравенства a > b следует неравенство a2 > b2. Обратно, из неравенства a2 > b2 при дополнительных условиях b ≥ 0, a ≥ 0 следует неравенство a > b. Пусть теперь b < 0. Если при этом a ≥ 0, то неравенство a > b верно. Если же b < 0 и a < 0, то из неравенства a2 < b2 следует неравенство a > b. Верно и обратное: из неравенства a > b при соблюдении условий b < 0, a < 0 следует неравенство a2 < b2. Эти рассуждения исчерпывают все возможные случаи (их получилось три: 1) a ≥ 0 и b ≥ 0; 2) b < 0 и a ≥ 0; 3) b < 0 и a < 0).

Если неравенство имеет вид  > , то его полезно рассматривать на отдельных интервалах, где  сохраняет постоянный знак. Там, где  ≥ 0, его можно возвести в квадрат, т. е. на этом интервале оно равносильно неравенству  > 2, а там, где  < 0 его и «решать не нужно»: оно верно при всех тех x из ОДЗ, для которых  < 0.
3) 

ОДЗ: x ≥ –2. Разбиваем ОДЗ на два интервала числом x = 0 (корнем правой части).

1) –2 ≤ x < 0

– всегда верно, так как , а x < 0.

2) x ≥ 0





x2 – x – 2 < 0 x1 = –1, x2 = 2



0 ≤ x < 2 Ответ: [–2; 2).
4)  ОДЗ: x ≥ 0

При x ≥ 0 правая часть положительна. Поэтому возведение в квадрат (при сохранении неравенства x ≥ 0) не нарушает равносильность.



Корни квадратного трехчлена: x1 = 4, x2 = . Ответ:  (4; +).
5)  ОДЗ: x ≥ –2

Из трех комбинаций знаков остались две, так как всегда ≥ 0.

или или x  [–2; 0)  x  [0; 2) или x  [–2; 0). Ответ: [–2; 2).
3. Логарифмированиепотенцирование. Эти преобразования совершаются с помощью строго монотонных функций, поэтому следить за сохранением равносильности здесь проще – главная трудность связана с сохранением ОДЗ.
6) x2 > 4. Ответ: (–; –2)  (2; +).
7) log2(x – 1) < log2(3 – x). ОДЗ: (1; 3).

x – 1 < 3 – x, x  (1; 3)  x < 2, x  (1; 3). Ответ: (1; 2).
4. Обобщение метода интервалов

Метод интервалов основан на том, что функция, непрерывная на некотором интервале и не обращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом интервале постоянный знак.

Соображения непрерывности позволяют применять метод интервалов не только к произведению линейных множителей, но и к произведению любых множителей, корни которых известны.
8) Разложение на множители




Находим корни множителей.

x – 1 = 0  x = 1

x2 + x + 1 = 0 корней нет, x2 + x + 1 > 0 для всех x.

x = 4

ОДЗ: x ≥ 0

Разбиваем ОДЗ на интервалы и определяем знак произведения.



Ответ: [0; 1]  [4; +).
Методом интервалов решаются прежде всего рациональные неравенства, т. е. неравенства, в одной части которых стоит рациональная дробь , где P(x) и Q(x) – многочлены, а в другой части нуль.

В принципе каждый многочлен может быть разложен в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов, не имеющих (вещественных) корней. Квадратные трехчлены, не имеющие корней, сохраняют постоянный знак на всей числовой оси, что позволяет свести решение рационального неравенства к упомянутой выше стандартной схеме. Разумеется, разложение многочлена на линейные и квадратные множители встречает трудности как практического, так и теоретического характера, связанные с нахождение корней многочлена.
Замечание о кратных корнях многочлена

9) Рассмотрим неравенство .

Пример такого типа содержит многочлены с так называемыми кратными корнями. Поведение дроби при прохождении через эти корни различно.

1) Множитель в четной степени (x – 2)2 или (x + 1)6 всегда ≥ 0. Однако отбрасывать его нельзя – корень числителя является решением нестрогого неравенства и при его отбрасывании можно потерять решение, а корень знаменателя может попасть внутрь интервала, где оставшаяся дробь ≥ 0, и при его отбрасывании расширится ОДЗ и может появиться постороннее решение.

2) Множитель в нечетной степени типа (x + 3)3 можно заменять линейным, так как знаки (x + 3)3 и (x + 3) совпадают.

3) Квадратные множители с отрицательным дискриминантом и положительным старшим коэффициентом (типа x2 + 1) можно не учитывать.

При нанесении корней на числовую ось рекомендуется разными знаками отмечать корни числителя и знаменателя, а также внимательно следить за точкой x = 0, которая всегда отмечается как начало числовой оси, но может не быть корнем выражения и ее не надо учитывать при распределении знаков. Ответ: x ≤ –3, –2 < x < –1, –1 < x < 1, x = 2.
Разбиение на интервалы применяется не только для решения неравенств, но и для преобразований выражений (необходимых в процессе решения уравнений и неравенств), зависящих от его знака. Типичными примерами являются следующие преобразования.

1. Раскрытие модуля. Оно основано на том, что

|| = , если  ≥ 0

|| = –, если  ≤ 0

Поэтому, если в процессе преобразований мы хотим избавиться от модуля, нам нужно рассмотреть интервалы, на которых выражение  сохраняет постоянный знак.
10) Решить неравенство

.

Находим корни выражений, стоящих под знаком модуля.

x2 – x – 2 = 0  x1 = –1, x2 = 2

x – 1 = 0  x = 1

Указываем на числовой оси знаки первого (сверху) и второго (снизу) выражений.



Решаем неравенство на каждом из четырех получившихся интервалов.

1) x ≤ –1

 4x2 + 4x – 11 ≥ 0

x1 = 

x2 = 

Решения на этом интервале: x ≤ .

2) –1 < x ≤ 1

 4x2 – 12x – 5 ≤ 0

x3 = 

x4 = 

Решения на этом интервале:  ≤ x ≤ 1.

3) 1 < x ≤ 2

x2 + x –  ≤ 0

x5 = 

x6 = 

Решения на третьем интервале: 1 < x ≤ .

4) x > 2

 4x2 – 12x + 5 ≥ 0

x7 = , x8 = 

Решения на четвертом интервале: x ≥ .

Объединяем решения.



Ответ: .
5. Извлечение квадратного корня. Если под знаком радикала стоит полный квадрат, то можно при извлечении корня воспользоваться знаком модуля ().

Пример. Извлечение квадратного корня



Замечаем, что . Определяем знак выражения на интервалах: x   > 0

x   < 0

На объединении первых двух интегралов получаем неравенство

x2 ≥ .

На интервале получаем неравенства x2 ≤ . Наносим все корни на числовую ось и выписываем ответ.

Ответ: .

Похожие:

Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию iconТема «Иррациональные неравенства»
При решения нестрогого неравенства рассматривают объединение решений соответствующего уравнения и строгого неравенства
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию iconО регистрации брака
И все чаще встречаются семьи, прожившие многие годы вместе, но так и не заключившие брак. Но все-таки еще остались люди со старыми...
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию iconИдеи правового государства и его основные признаки
Идеи правового государства при переходе от феодализма к капитализму, в период ранних буржуазных революций
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию iconСтандартные неравенства
Решение неравенств (так же как и решение уравнений) обычно распадается на два шага – преобразование неравенства к одному из стандартных...
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию iconВирджиния Сатир. Почему семейная терапия?
Когда один из членов семьи (пациент) испытывает трудности, которые проявляются в определенных симптомах, то эти трудности так или...
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию iconSimcosar: программный комплекс моделирования процесса мониторинга...
Поэтому целью данной статьи мы выбрали знакомство коллег с текущей версией программного комплекса моделирования. Но прежде чем приступить...
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию iconИтак, сегодня мы разберем все, что нам будет также необходимо знать...

Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию icon1. Состояние и основные направления развития нгк россии
При переходе к рынку в нефтяном комплексе наметились проблемы, к-е до сих пор сказываются на состоянии отрасли: 1 нет госуд-го инвестирования,...
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию iconОсновной капитал предприятия и его оценка. Фондоотдача как показатель...
Основные фонды — это средства труда, которые многократно участвуют в производственном процессе, сохраняя при этом свою натуральную...
Разберем основные трудности, которые встречаются при переходе от неравенства к его следствию icon"Время, хаос, квант." М.,1994,(стр. 4-12, 41-73, 247-263)
Более того, И. Пригожин подводит читателя к новой форме познаваемости, выражаемой несводимыми вероятностными представлениями, которые...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница