Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные»




Скачать 139.37 Kb.
НазваниеРешение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные»
Дата публикации25.06.2013
Размер139.37 Kb.
ТипРешение
litcey.ru > Военное дело > Решение


Решение неравенств



Оглавление


1. Линейные неравенства. Неравенства, сводящиеся к линейным. 1

2. Квадратные неравенства. 2

2.1. D > 0. 2

2.2 D = 0, D < 0. 3

3. Системы неравенств. 4

3.1 Системы линейных неравенств 4

3.2 Решение систем смешанных неравенств. 5

4. Решение двойных неравенств. 6

4.1 Решениее двойных линейных неравенств. 6

4.2 Решение двойных неравенств типа g(x) < f(x) < h(x). 7

5. Решение неравенств методом интервалов. 7

Пункт 8. - + - 8

Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9

«Очевидные» неравенства. 9

6. Неравенства с модулем. 10

Пример2. | 2х – 3 | >7 10

3) Решение неравенств вида: х2 < d; x2 > d. 12

7. Раскрытие модулей с использованием метода интервалов. 12

Пункт 2. 2х - 7 - - + 12



Золотые правила.

1. Неравенства, содержащие неизвестное в знаменателе не приводить к целому виду. Привести к общему знаменателю.

2. Не сокращать на выражение, содержащее неизвестное. Разложить на множители.

^

1. Линейные неравенства. Неравенства, сводящиеся к линейным.



Неравенства вида kx >b; kx < b называются линейными

Пункт 1. Привести неравенство к виду kх >b или kx < b для чего: раскрыть скобки (при наличии), привести подобные,

Пункт 2. перенести неизвестные в одну сторону, свободные члены – в другую с противоположным знаком;

Пункт 3. Разделить свободный член на коэффициент при х, при этом если коэффициент положительный, то знак неравенства не изменять, если отрицательный, то знак неравенства изменить на противоположный;

Записать ответ в виде промежутка. Для облегчения записи можно решение изобразить на координатной прямой.

Решить неравенства.

Пример 1. 4(2 – х) – 5 + х > 11 – x;

Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x ;

Пункт 2. - 2x > 8;

Пункт 3. х < - 4; Т.к. – 2<0, то знак неравенства изменился.




4o

Ответ: ( -¥ ; - 4)

Пример 2. + 1,5 0 ; х + 3³ 0; х ³- 3. Ответ: [- 3;¥) 2 способ: х - 3. – 3 Ответ: [- 3;¥)

Пример 3. ; 2х + 110; х - ; Ответ: (-¥;- 5,5].

Помни! Если неравенство строгое (<; >), то на координатной прямой ставится o и для промежутка - круглые скобки, если неравенство нестрогое ( ), то на координатной прямой ставится и для промежутка - скобки квадратные.

Рекомендация. Если неравенство целое выражение с дробными коэффициентами, то его можно привести к целому виду.
Ключевые слова. Неравенства первой степени – неизвестные – в одну сторону, свободные члены – в другую. Свободный член разделить на коэффициент.

^ Коэффициент положительный – знак неравенства не меняется; коэффициент отрицательный – знак неравенства меняется на противоположный.

Начало


^

2. Квадратные неравенства.



аx2+ bx + c > 0; ax2+ bx + c < 0.

2.1. D > 0.


Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид (раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные, расположить в порядке убывания степеней);

Пункт 2. Записать функцию;

Пункт 3. Определить знак коэффициента при х2, записать, как направлены ветви параболы;

Пункт 4. Определить нули функции;

Пункт 5. Нанести на координатную прямую нули функции и расставить знаки: если коэффициент при х2 положительный, то знаки идут « +, - , +»; если отрицательный, то знаки будут « - , + , -» ;

Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать ответ.

Решить неравенства:

Пример 1. х- 3х + 2 > 0;

Пункт2.f(х)=х - 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола;

Пункт 3. а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх;

Пункт4. f(х)= 0 ; х – 3х + 2 = 0 ; х= 1; х= 2.
Пункт 5. + - +

1 2 x
Пункт 6. Ответ: ( - ¥; 1)( 2 ; +¥).

Пример 2. - х- 3х + 4 ≥ 0; f(x)= -x- 3x + 4. Функция квадратичная, графиком является парабола. а = -1 <0, ветви параболы направлены вниз.

f(x)=0;

- x- 3x + 4 = 0 ; x+ 3x – 4 = 0; x= - 4; x= 1;


- + - - 4 ≤ x ≤ 1

- 4 1 x
Ответ: [ -4;1].




2.2 D = 0, D < 0.


Вместо пункта 3, 4 построить эскиз параболы и по рисунку определить промежутки, в которых функция принимает нужные значения.

Пример 1. х+ 2х + 6 > 0; D < 0; a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: (-¥;+¥)




Пример 2. х- 2х + 1 > 0; D = 0; a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх.



х Ответ: ( -∞ ; 1) ( 1; +∞ ).

1

Если неравенство нестрогое: х2 – 2х + 1 0, то х = 1 – точка включенная и ответ будет: (-¥;+¥) или R

Пример 3. - х- 5х – 7 > 0; D < 0; a = - 1 < 0, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: решений нет.

Ключевые слова.

^ 1. Перенести все в одну сторону.

2. Нули. Координатная прямая.

3. Ветви, знаки.

Начало



^

3. Системы неравенств.


Решить систему – значит найти пересечение множеств решений каждого неравенства, т. е. их общую часть.

3.1 Системы линейных неравенств


Пункт 1. Найти решение каждого неравенства; Все действия в каждом неравенстве вести в системе, используя фигурную скобку;

Пункт 2. Найти пересечение множеств решения неравенств либо устно, либо используя координатную прямую;



ПОМНИ!

х > a, если а > b; x < a, если a < b;

х > b, если b > a. x < b, если b < a.

х больше большего. х меньше меньшего.

Пример 1. Пример 2.














4 6 x - 4 1/2 x

4 < x < 6 Решений нет.

Ответ. ( 4; 6 ) Ответ. Решений нет.

Пример 3. Пример 4.



Т.к. знаменатели числа, привести к

целому виду.







0,514 5,1 х 3 5 х

x < 5

0,514 < x  5,1 Ответ. [3;5)

Ответ. (0,514; 5,1]
Помни! Сколько в системе неравенств, столько и «крыш» должно быть на промежутке, являющимся решением системы.

Начало документа
^

3.2 Решение систем смешанных неравенств.


Для решения смешанных систем нужно решить каждое неравенство в отдельности и найти пересечение множеств найденных решений.
Пример.

Решим неравенство х2 – 10х + 9 0. f(x) = х2 – 10х + 9 – функция квадратичная, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а=1>0.

х2 – 10х + 9 = 0, х1 =1; х2 = 9 – по теореме обратной теореме Виета.




+ - +



1 9 х

;

Найдем пересечение множеств решений неравенств:








1 10/3 9 х

Ответ

Начало документа

^

4. Решение двойных неравенств.

4.1 Решениее двойных линейных неравенств.


a < f(x) < b, двойное неравенство, где f(x) – линейная функция.

Двойное неравенство можно представить как систему неравенств:

^ Ответом будет являться решение данной системы.
Решить данное двойное неравенство можно также по следующему алгоритму:

Пункт 1. Перенести свободные члены в любую часть неравенства с противоположным знаком;

Пункт 2. Разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном. Если коэффициент положительный, то знаки неравенства не изменяются, если отрицательный, то знаки неравенства меняются на противоположные;

Пункт 3. Ответ привести в стандартный вид.

Пример 1. Пример 2.



Начало документа
^

4.2 Решение двойных неравенств типа g(x) < f(x) < h(x).


Представить двойное неравенство в виде системы неравенств либо так либо так

Используется для нелинейных неравенств.

Пример 1. 4х < 3x + 1 < 6 – 2x; Û x < 1
Пример 2. 1< x2 - 2 < 7; Û

или

.

Ответ.

Начало документа
^

5. Решение неравенств методом интервалов.



Пункт 1. Преобразовать неравенство к виду: Р(х)>, < 0, , >,<0

Пункт 2. Разложить на множители (при возможности);

Пункт 3. Записать функцию;

Пункт 4. Найти область определения функции D(f);

Пункт 5. Найти нули функции;

Пункт 6. Нанести полученные точки на координатную прямую с учетом ее включения или не включения ( не включенная точка, включенная точка );

Пункт 7. Определить знак функции в каждом полученном промежутке методом пробной точки, для чего: взять точку в соответствующем промежутке и подставить ее значение в функцию для определения знака;

Пункт 8. Расставить знаки;

Пункт 9. Выбрать промежутки, соответствующие неравенству, записать ответ.


Пример 1. ;

Пункт 3. f(x) = . Пункт 4. D(f) = R, но х ¹ -. Пункт 5. f(x) = 0

1,5 – x = 0; x = 1,5. D(f)

Пункт 6.



- 1,5 1,5 х

Пункт 7. x <- 1,5 f( - 5 ) < 0; - 1,5 < x < 1,5 f( 0 ) > 0; x > 1,5 f( 5 ) < 0

Пункт 8. - + -


 

- 1,5 1,5 х
Пункт 9. – 1,5 Ответ.( - 1,5; 1,5]

Пример 2.

;

ПОМНИ! К целому виду неравенство, содержащее неизвестное в знаменателе не приводится, надо привести к общему знаменателю.


f(x) = ; D(f) = R, но х ¹ ± 1

f(x) = 0 ; х2 + 3х – 4 = 0, х = - 4, х = 1  D(f)

f(x) = ;

ВНИМАНИЕ! Неравенство на выражение, содержащее неизвестное, сокращать не рекомендуется. Можно после нахождения области определения.

х <-4 , x= 5 f(5) <0; - 4 0; -1 < x < 1, x = 0, f(0) < 0; x > 1, x = 2, f(2) < 0.



- + - -

- 4 ○- 1 ○ 1 x

Ответ. (-¥;-4)È(-1;1)È(1;¥)
При наличии в неравенстве только линейных множителей и делителей знаки чередуются. Нужно определить знак в правом (левом промежутке) и потом чередовать их.

^ При наличии в неравенстве множителей и делителей в четной степени знак при переходе через нуль этой скобки не меняется.

При наличии в неравенстве множителей и делителей в нечетной степени знак при переходе через нуль этой скобки меняется.

Решить неравенство: (х - 3)(х + 1)2(2х - 1) > 0

f(x) = (х - 3)(х + 1)2(2х - 1), f(x) = 0

х = 3, х = - 1 , х = ½

+ + - +

° ° °

-1 ½ 3

f(5) > 0

х € (-∞;-1)U(-1;1/2 ) U(3;∞)
Решить неравенство: (х - 3)(х + 1)3(2х - 1) > 0

f(x) = (х - 3)(х + 1)3(2х - 1), f(x) = 0

х = 3, х = - 1 , х = ½

- + - +

° ° °

-1 ½ 3

f(5) > 0

х € (-1;1/2 ) U(3;∞)
Ключевые слова.

1. f(x); 2. Область определения. 3. Нули функции. 4. Координатная прямая. 5. Знак по пробной точке в каждом промежутке.

Начало документа
^

Способ решения неравенств путем составления систем неравенств.


Неравенства вида P(x)G(x) > 0 , можно представить также в виде систем неравенств: или

Неравенства вида P(x)G(x) < 0 , можно представить в виде систем неравенств: или

Произведение двух множителей больше нуля, когда в области определения каждый из множителей имеет одинаковые знаки (> 0 или < 0). Произведение двух множителей меньше нуля, когда в области определения каждый из множителей имеет разные знаки. Тоже для дроби.

^ Если неравенство нестрогое, то:

в неравенстве, содержащем - P(x) больше или равен нулю или меньше или равен нулю (³, £ ), а G(x) строго больше или меньше нуля ( > , < ), так как деление на нуль не определено ( не имеет смысла ).

Начало документа
^

«Очевидные» неравенства.


Если P(x) или G(x) – «очевидное» неравенство, то составляется одна из систем, соответствующая смыслу данного неравенства.

К «очевидным» неравенствам относятся неравенства, знак которых очевиден при любых значениях переменной.

^ 1. Квадрат суммы или разности при любых значения переменной всегда больше или равен нулю: (a ± b) 2 ³ 0.

2. Сумма квадратов при любых значениях переменной всегда больше нуля, например, х2 + 1 >0.

  1. Корень четной степени при любых значениях переменной всегда больше или равен нулю, как арифметический корень: .

  2. Другие. Определять по смыслу.



Пример 1. ( 4х – 6 ) ( 3х2 + 1 ) > 0;

Произведение двух множителей больше нуля, если в области допустимых значений переменной множители имеют одинаковые знаки. Так как 3х2 + 1 > 0 при любом значении х, то

4х – 6 > 0; x > 3/2. Ответ. (3/2; ¥)

Пример 2.

Дробь больше или равна нулю, если в области допустимых значений переменной числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки или числитель равен нулю. Так как ( х + 1 )2 ≥ 0 при любых значениях х, то

3х – 1 > 0; x > 1/3; ( х + 1 )2 = 0; x = - 1

Ответ. – 1; (1/3; ¥)

Начало документа

^

6. Неравенства с модулем.



1) Неравенства вида |f(x)| < b равносильно -b < f(x) < b при b³0, при b<0 неравенство решений не имеет.

Неравенство вида |f(x)| > b равносильно совокупности неравенств f(x) < - b или f(x) > b при b³0, при b<0 решением неравенства является D(f).

Пример1. |3 – х|< 5; - 5<3 – х < 5; - 8 < - х < 2; 8 >х >- 2;

- 2 < х < 8 . Ответ. (-2;8).
^

Пример2. | 2х – 3 | >7


2х – 3 < - 7; или 2х – 3 > 7;

2x < - 4; 2x > 10;

х < - 2 х > 5 . Ответ. (-¥;-2)È(5;¥).

2) Неравенство вида |f(x)| < g(x) равносильно следующим системам:

или при g(x) < 0 – решений нет.

Полученные системы можно упростить:

или

0  f(x) < g(x) - g(x) < f(x) < 0

^ Т.е неравенство вида |f(x)| < g(x) равносильно - g(x) < f(x) < g(x)

Неравенство вида |f(x)| > g(x) равносильно следующим системам:

или или

^ Т.е Неравенство вида |f(x)| > g(x) равносильно совокупности:

f(x) < - g(x) или f(x) > g(x) или

Помни! Для решения неравенств такого вида можно раскрыть модуль по определению.

Пример. | 2х – 1| £ 3х + 2.

или



- 1/5 x <1/2. Ответ.[ - 1/5; ∞) .

Можно решить так:

| 2х – 1| £ 3х + 2 ↔ - (3х + 2) ≤ 2x – 1 ≤ 3x + 2↔
Начало документа
^

3) Решение неравенств вида: х2 < d; x2 > d.



Неравенство x2 < d равносильно неравенству ½х ½

- d < x < d.

Неравенство x2 > d равносильно неравенству ½ x ½>d, откуда получаем: x < - d или x > d.

Пример. х2 < 9; x2 > 9;

½х ½ < 3; ½х ½ > 3;

- 3 < x < 3. x < - 3 или x > 3.
^

7. Раскрытие модулей с использованием метода интервалов.


Если в уравнении ( неравенстве) содержатся несколько модулей, то:

Пункт 1. Найти нули каждого модуля;

Пункт 2. Расставить их на координатной прямой;

Пункт 3. Определить знак каждого выражения под знаком модуля в соответствующем промежутке;

Пункт 4. Для каждого промежутка получить уравнение(неравенство), записать в виде системы;

Пункт 5. Решить полученные системы.
Пример 1.  2х – 7 + 4 + 3х > 10
Пункт 1.  2х – 7= 0; x = 3,5. 4 + 3х = 0; x = - 4/3
^

Пункт 2. 2х - 7 - - +


4 +3х - - 4/3 + 3,5 +

Пункт 3. x< - 4/3 х = - 2 - (2х – 7) – (4 + 3х) = 10

- 4/3x3,5 х = 0 - (2х – 7) + ( 4 + 3х ) = 10

x > 3,5 х = 5 ( 2х – 7) + (4 + 3х) = 10

Пункт 4. или или

Пункт 5.

x < - 1,4 - 1< x  3,5 x> 3,5

Отвеn: ( - 1,4)  ( - 1; )

Начало документа

Похожие:

Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» iconСодержание занятий «Школы подготовки к егэ»
Неравенство. Решение неравенств Решение неравенств. Решение систем тригонометрических уравнений
Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» iconСтандартные неравенства
Решение неравенств (так же как и решение уравнений) обычно распадается на два шага – преобразование неравенства к одному из стандартных...
Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» icon«Неравенства с одной переменной. Системы неравенств»
Для системы неравенств укажите номер рисунка, на котором изображено множество ее решений
Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» icon«Неравенства с одной переменной. Системы неравенств»
Для системы неравенств укажите номер рисунка, на котором изображено множество ее решений
Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» iconНазвание раздела, темы урока
Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Примеры решения дробно-линейных неравенств
Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» iconРешение уравнений и систем уравнений (неравенств)
Вычислительная мощь компьютера позволяет использовать его как средство автоматизации научной работы. Для решения сложных задач используют...
Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» icon«Действительные числа. Множества»
В случае неправильного решения – разобраться с ошибкой, выбросить листок с неправильным решением, написать решение всех неравенств...
Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» iconКраткое содержание предмета
Решение линейных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» iconМетоды решения иррациональных неравенств

Решение двойных неравенств типа g(X) Решение неравенств методом интервалов. 7 Пункт + 8 Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. 9 «Очевидные» iconУчебником пользоваться можно. Листки с решением аккуратно наколоть
В случае неправильного решения – разобраться с ошибкой, выбросить листок с неправильным решением, написать решение всех неравенств...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
litcey.ru
Главная страница